Esercizio sulle serie / 2

[Rigel1]

A grande richiesta, altro esercizio sulle serie

Sia $(a_n)$ una successione crescente di numeri positivi divergente a $+\infty$.
Si definisca
\[
s := \limsup_{n\to +\infty} \frac{\log n}{\log a_n}\,.
\]
Dimostrare che la serie $\sum_n a_n^{-p}$ converge se $p > s$ mentre diverge a $+\infty$ se $p < s$.

[Weierstress]

Ma si vince qualcosa?

[otta96]

Ancora non ho avuto modo di pensarci più di tanto, ma per quel poco che ci ho pensato non mi è venuto in mente niente, è più difficile dell'altro esercizio (almeno a me sembra così).

[Rigel1]

"otta96":Ancora non ho avuto modo di pensarci più di tanto, ma per quel poco che ci ho pensato non mi è venuto in mente niente, è più difficile dell'altro esercizio (almeno a me sembra così).

In realtà, la parte difficile per risolvere questo esercizio è contenuta nell'altro esercizio che hai già risolto.
Fatto quello, basta usare la definizione di \(\limsup\) e qualche trucchetto sulle successioni monotone.

[otta96]

Un po' in ritardo, ma ho finalmente trovato il tempo di farlo, anche se non ho usato l'esercizio precedente.

Per la prima parte, se $p>s$, per definizione di limsup, si ha che $EElbarn,(lnn/lna_n)<=l Considerando ora $1/a_n^p$, si ha che $1/a_n^p=1/a_n^((p/l)l)=1/(a_n^l)^(p/l)<=1/n^(p/l)$, e dato che $p/l>1$, si ha che per il criterio del confronto la serie converge.
Per la seconda parte uso un lemma che dice: se $a_n$ è una successione decrescente tale che $\sum_{n=1}^(+\infty) a_n$ è convergente, allora $\lim_{n->+\infty} na_n=0$.
Sia adesso $pp$, con passaggi analoghi ai precedenti si ottiene $n_k>a_(n_k)^p$, da cui $n_k/a_(n_k)^p>1$, ora assumiamo per assurdo che $\sum_{n=1}^(+\infty) a_n^p$ sia convergente, ma allora dato che $a_n^p$ è monotona si applica il lemma concludendo $\lim_{n->+\infty} na_n^p=0$, ma noi avevamo ottenuto che $n_k/a_(n_k)^p>1$, che implica che $\text{limsup}_{n->+\infty} n/a_n^p>=1!=0$, assurdo.
La dimostrazione del lemma è lasciata come facile esercizio

@Rigel Mi piacerebbe vedere la dimostrazione che avevi trovato se te la ricordi ancora.

[Rigel1]

@otta96:

Il caso $p>s$ è come il tuo. Consideriamo $p0$).
Per definizione di limsup, esiste una sottosuccessione $(n_j)$ tale che
$$
\frac{\log n_j}{\log a_{n_j}} > p
\qquad \forall j,
$$
i.e.
$$
\frac{1}{a_{n_j}^p} > \frac{1}{n_j}
\qquad \forall j.
$$
Poiché $a_{n_j}^{-p}$ decresce monotonamente $0$, ponendo $n_0 := 0$ abbiamo che
$$
\sum_{n=1}^\infty a_n^{-p} =
\sum_{j=1}^\infty \sum_{k= n_{j-1} + 1}^{n_j} a_k^{-p}
\geq \sum_{j=1}^\infty (n_j - n_{j-1}) a_{n_j}^{-p}
\geq \sum_{j=1}^\infty \frac{n_j - n_{j-1}}{n_j}\,.
$$
D'altra parte, la serie al membro destro diverge a $+\infty$ (per l'esercizio precedente), dunque anche $\sum a_n^{-p}$ diverge per confronto.