Esercizio sulle serie

[fresin]

Salve ho un problema con questo limite preso dal Giusti, analisi 1:

limite per n tendente a infinito di $(1-2+3-4+...-2n)/(n+6)$

Non riesco a trovarne una forma più semplice che mi permette di calcolarne il limite (che dovrebbe venire -1).

[Mephlip]

Ciao! Osserva che:
$$\sum_{k=1}^m k =\frac{m(m+1)}{2}$$
e che:
$$\sum_{k=1}^m (2k-1)=m^2$$
Si dimostrano per induzione, volendo.

[pilloeffe]

Ciao fresin,

Innanzitutto non si tratta di serie, ma di normali somme...

"fresin":Non riesco a trovarne una forma più semplice che mi permette di calcolarne il limite

Prima di fare uso dei suggerimenti che ti ha già dato Mephlip (che peraltro nel caso specifico non sono neanche necessari... ), scrivi per bene e diversamente il limite proposto:

$\lim_{n \to +\infty} (1 - 2 + 3 - 4 + ... + (2n - 1) - 2n)/(n+6) = $
$ = \lim_{n \to +\infty} (1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) - (2 + 4 + 6 + ... + 2n))/(n+6) $

[fresin]

Grazie per le risposte, risolto.

[pilloeffe]

Non so come l'hai risolto perché non l'hai scritto, per cui completo la mia soluzione anche per giustificare perché ho scritto che nel caso specifico i corretti suggerimenti di Mephlip non erano necessari:

$\lim_{n \to +\infty} (1 - 2 + 3 - 4 + ... + (2n - 1) - 2n)/(n+6) = $

$= \lim_{n \to +\infty} (1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) - (2 + 4 + 6 + ... + 2n))/(n+6) = $

$ = \lim_{n \to +\infty} (\sum_{k = 1}^n (2k - 1) - \sum_{k = 1}^n (2k))/(n+6) = \lim_{n \to +\infty} (\sum_{k = 1}^n [(2k - 1) - (2k)])/(n+6) = $

$ = \lim_{n \to +\infty} (\sum_{k = 1}^n (- 1))/(n+6) = \lim_{n \to +\infty} (- \sum_{k = 1}^n 1)/(n+6) = \lim_{n \to +\infty} (- n)/(n+6) = - 1 $