Esercizio sulle serie

[giulia.curcio.7]

Salve , avrei bisogno di aiuto per le serie . Un esercizio mi dice di studiare il carattere della serie $ sum_(n = \1) cos n /(n^3) $
Nella soluzione c'è scritto che la serie è a termini di segno non definitivamente costante , e volevo capire perchè è di segno non definitivamente costante e come si fa a determinare che tipo di serie ho . Inoltre io ho provato a risolverlo cosi . So che $ cos n <=1 $ quindi $ cos n /(n^3)<=1/(n^3) $ ,
$ sum_(n = \1) |cos n| /(n^3) $ => $ sum_(n = \1) 1 /(n^3) $ questa serie converge assolutamente quindi convege anche semplicemente , la serie di partenza converge. Va bene come ho risolto l'esercizio ?

[kobeilprofeta]

Ya

[Sk_Anonymous]

"Giu180":[...] perchè è di segno non definitivamente costante e come si fa a determinare che tipo di serie ho .[...]

Perché il coseno è una funzione (periodica) tale che l'immagine del suo dominio (plausibilmente tutto \(\mathbb{R}\)) è \([-1,1]\). Quindi ci saranno dei valori di \(n\) per cui \(\cos n < 0\) ed altri valori di \(n\) per cui \(\cos n > 0\). "Definitivamente" nel senso che questa proprietà non smette di valere da un certo \(\bar{n}\) in poi, ma "dura per sempre" (come i diamanti De Beers).

[giulia.curcio.7]

Sisi mi sono espressa male sopra , infati stavo per specificare che mi serviva sapere solo perché non definitivamente . So che il coseno cambia segno al variare di n essendo una funzione periodica.Grazie mille a tutti e due