Esercizio sulle serie

[Mandiatutti]

Ciao a tutti, ho cominciato le serie, ma non ci capisco veramente nulla... Ho così voluto provare a fare qualche esercizio, ma non sto risolvendo niente. Posto un paio di esercizi se qualcuno è così gentile da spiegarmi i passaggi/metodi per risolverli lo ringrazio!

n.1
\( \sum^+^∞_n_=_3 {(2/3)^n}=8/9 \)

Io per questo mi rifarei alla forma \( \sum^+^∞_n_=_0 {(x)^n} \)
Che dice che se \( |x|<1 \) la serie converge a: \( 1/(1-x) \) .
Tuttavia svolgendo questo calcolo mi risulta 3.

n.2
\( \sum^+^∞_n_=_1 {1/(n(n+1)(n+2))}=1/4 \)

Mi ricondurrei alla forma: \( \sum^+^∞_n_=_1 {1/(n(n+1)}=1 \)
Ma non ci riesco! Non so come!

Vi prego aiutatemi sto impazzendo!

[Zero87]

"Mandiatutti":n.1
\( \sum^+^∞_n_=_3 {(2/3)^n}=8/9 \)

Io per questo mi rifarei alla forma \( \sum^+^∞_n_=_0 {(x)^n} \)
Che dice che se \( |x|<1 \) la serie converge a: \( 1/(1-x) \) .
Tuttavia svolgendo questo calcolo mi risulta 3.

L'idea è giusta, basta togliere i primi 3 termini (nella tua l'indice $n$ "parte" da 3).
$"serie tua"=\sum_(n=0)^(\infty) (2/3)^n -(2/3)^0-(2/3)^1-(2/3)^2=\frac{1}{1-2/3}-1-2/3-4/9=8/9$

Per la seconda così su due piedi non mi viene nulla...

[Shocker1]

Ciao

Ho scomposto la frazione in fratti semplici e ottengo:

$sum_{n=1}^(+oo) (1/(2n) + 1/(2(n+2)) - 1/(n+1))$

Raccogliamo $1/2$:
$1/2*sum_{n=1}^(+oo) (1/(n) + 1/(n+2) - 2/(n+1)) = 1/2*sum_{n=1}^(+oo) (1/(n) + 1/(n+2) - 1/(n+1) - 1/(n+1))$
$= 1/2*(sum_{n=1}^(+oo) (1/(n) - 1/(n+1)) - sum_{n=1}^{+oo}( 1/(n+1) - 1/(n+2)) ) $