Esercizio sulle serie

[vincenzo.delconte]

Salve a tutti,

propongo un esercizio che non riesco a risolvere

determinare per quali valori di c la serie (-1)^n\(1-c)^n è convergente

[gugo82]

Idee tue?

[vincenzo.delconte]

ciao gugo82,
avevo pensato la seguente
per c>1 la serie diventa una normale serie geometrica che quindi converge se |q|<1
poi per c =0 abbiamo che la serie geometrica di ragione q=-1 risulta indeterminata
per c<-1 diventa una serie a segni alterni e quindi applicare il criterio di Leibniz.
se c=1 ancora è una serie indeterminata.
ma non sono per nulla sicuro che il ragionamento sia giusto.puoi aiutarmi?

EDIT oppure applicare fin da subito leibniz e quindi trovare per quali valori di c il termine generale della serie sia decrescente e abbia limite zero.

[gugo82]

Ma guarda che quella è sempre una serie geometrica... Infatti la puoi riscrivere come:
\[
\sum \left( \frac{1}{c-1}\right)^n
\]
dunque essa converge se e solo se \(\frac{1}{|c-1|}<1\); diverge positivamente se \(\frac{1}{c-1}\geq 1\) ed è indeterminata negli altri casi.

[vincenzo.delconte]

ma nella serie di partenza al numeratore c'e -1^n , quindi a rigore non dovrebbe essere una serie a segni alterni??
o forse mi sfugge qualcosa O.o

[gugo82]

Guarda, il fatto che la tua serie sia una serie geometrica (il che lo constati semplicemente usando l'uguaglianza algebrica \(\frac{(-1)^n}{(1-c)^n} = (\frac{-1}{1-c})^n =(\frac{1}{c-1})^n\)) già ti dice tutto quello che vuoi sul carattere della serie: infatti, la serie geometrica è una delle poche serie di cui conosci veramente vita morte e miracoli.
Quindi perché vuoi complicarti la vita?

[vincenzo.delconte]

E' vero scusami hai ragione tu...non so come ho fatto non notare che fosse una serie geometrica!!!
Grazie mille gugo (anche per la pazienza) sei stato molto prezioso