Esercizio sulle matrici

[puffinamini90]

Salve gente!
Ho bisogno di un'aiuto per svolgere questo esercizio e mi piacerebbe anche che qualcuno me lo spiegasse

L'esercizio dice questo :
"Determinare il valore del paramentro k, affinchè la matrice

A=\begin{bmatrix}
1 &5 &-3 \\
0 &k &71 \\
-2 &4 &-1
\end{bmatrix}

non sia inveritibile"

La soluzione che mi dà il libro è questa :

k= -994/7 ovvero -142

Ora,la mia domanda è questa: come si ottiene questo risultato?

[anto_zoolander]

una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha rango massimo se e solo se ha determinante non nullo

Pertanto avere determinante nullo equivale al non essere invertibile, no?

[pilloeffe]

Ciao Effe_di_x,

Benvenuto sul forum!

"Effe_di_x":mi piacerebbe anche che qualcuno me lo spiegasse

Come dovresti sapere, si ha:

$A^{- 1} = frac{1}{det(A)} \cdot (Cof A)^T $

ove $ det(A) $ è il determinante della matrice $A$ e $Cof A $ è la matrice dei cofattori o la matrice dei complementi algebrici. Quindi, come ha scritto giustamente anto_zoolander, affinché la matrice $A$ non sia invertibile basta che il suo determinante $det(A) $ sia nullo. Si ha:

$ det(A) = |(1,5,- 3),(0,k,71),(-2,4,- 1)| = k \cdot (-1)^{2 + 2} |(1,-3),(-2,- 1)| + 71\cdot (-1)^{2 + 3} |(1,5),(-2,4)| = $
$ = k(- 1 - 6) - 71(4 + 10) = - 7k - 994 $

Quindi $det(A) = 0 \implies - 7k -994 = 0 \implies k = frac{994}{-7} = - 142 $

[puffinamini90]

"pilloeffe":Ciao Effe_di_x,

Benvenuto sul forum!
[quote="Effe_di_x"]mi piacerebbe anche che qualcuno me lo spiegasse

Come dovresti sapere, si ha:

$A^{- 1} = frac{1}{det(A)} \cdot (Cof A)^T $

ove $ det(A) $ è il determinante della matrice $A$ e $Cof A $ è la matrice dei cofattori o la matrice dei complementi algebrici. Quindi, come ha scritto giustamente anto_zoolander, affinché la matrice $A$ non sia invertibile basta che il suo determinante $det(A) $ sia nullo. Si ha:

$ det(A) = |(1,5,- 3),(0,k,71),(-2,4,- 1)| = k \cdot (-1)^{2 + 2} |(1,-3),(-2,- 1)| + 71\cdot (-1)^{2 + 3} |(1,5),(-2,4)| = $
$ = k(- 1 - 6) - 71(4 + 10) = - 7k - 994 $

Quindi $det(A) = 0 \implies - 7k -994 = 0 \implies k = frac{994}{-7} = - 142 $[/quote]



Grazie mille, anche se nel frattempo avevo già risolto