Esercizio sulle funzioni invertibili
Chiedo aiuto per la risoluzione di questo esercizio che prende spunto dall'enunciato del teorema della funzione inversa:
Siano $f: RR^n rarr RR^n$ una funzione invertibile e differenziabile in una palla di centro $a in RR^n$. Mostrare che se $det f'(a)=0$ ne segue che $f^-1$ non è differenziabile in a
Grazie infinite a tutti coloro che si cimenteranno
Siano $f: RR^n rarr RR^n$ una funzione invertibile e differenziabile in una palla di centro $a in RR^n$. Mostrare che se $det f'(a)=0$ ne segue che $f^-1$ non è differenziabile in a
Grazie infinite a tutti coloro che si cimenteranno
Risposte
Per definizione $fcircf^(-1)=I$ ($I$ nel senso di applicazione identica). Prova un po' a differenziare ambo i membri di questa uguaglianza, supponendo naturalmente che anche $f^(-1)$ sia differenziabile. Arrivi ad una condizione necessaria per la differenziabilità di $f^(-1)$. Questa condizione è verificata?
Grazie per la celerità. Per mia profonda incompetenza non sono sicuro di saper usare la tua indicazione ma ci lavorerò sopra, ancora mille grazie.
Prova prima a usare l'indicazione di dissonance nel caso speciale di funzioni da R in R.
E aiutati anche con un esempio.
E aiutati anche con un esempio.
Sono arrivato alla seguente conclusione, ditemi se ho toppato clamorosamente:
indicando con $f'$ la derivata ho che $(f^-1)'(y)= [f^{\prime}(f^-1)(y)]^-1$ ossia detto brutalmente che la derivata dell'inversa è pari all'inversa della derivata. Poichè una matrice con determinante nullo non è invertibile se la derivata $f'$ ha determinante nullo in un punto la derivata dell'inversa in quel punto non esiste.
Spero di non aver detto troppe fesserie in quattro righe, se così fosse vi prego di aiutarmi. Grazie ancora a tutti
indicando con $f'$ la derivata ho che $(f^-1)'(y)= [f^{\prime}(f^-1)(y)]^-1$ ossia detto brutalmente che la derivata dell'inversa è pari all'inversa della derivata. Poichè una matrice con determinante nullo non è invertibile se la derivata $f'$ ha determinante nullo in un punto la derivata dell'inversa in quel punto non esiste.
Spero di non aver detto troppe fesserie in quattro righe, se così fosse vi prego di aiutarmi. Grazie ancora a tutti
"johnnyfreak":
Sono arrivato alla seguente conclusione, ditemi se ho toppato clamorosamente:
indicando con $f'$ la derivata ho che $(f^-1)'(y)= [f^{\prime}(f^-1)(y)]^-1$ ossia detto brutalmente che la derivata dell'inversa è pari all'inversa della derivata. Poichè una matrice con determinante nullo non è invertibile se la derivata $f'$ ha determinante nullo in un punto la derivata dell'inversa in quel punto non esiste.
Spero di non aver detto troppe fesserie in quattro righe, se così fosse vi prego di aiutarmi. Grazie ancora a tutti
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