Esercizio sulle formule di Green Gauss
Ciao a tutti...Mi serve aiuto per un esercizio sulle formule di Green Gauss:
$\int int x^2 dx dy$ dove il dominio D è definito come ${(x,y)inR^2:1<=x^2+y^2<=2}$
Ho usato la seconda formula cioè
$\int int (delf)/(dely) dx dy= -\int x^2y dx$ il secondo esteso alla frontiera di D
Ho risolto il primo ed il risultato è $3/4\pi$, che dovrebbe essere quello giusto, ma l'altro mi da un risultato diverso. L'ho risolto considerando la frontiera unione delle due circonferenze della corona circolare, percorse la prima in senso orario e la seconda antiorario, poi ho parametrizzato e risolto gli integrali...Il primo come
$\int -cos^2t*sen^2t dt$ con $2\pi<=t<=0$
ed il secondo
$\int -2cos^2t*2sen^2t dt$ con $o<=t<=2\pi$
Potete dirmi cosa sbaglio?
$\int int x^2 dx dy$ dove il dominio D è definito come ${(x,y)inR^2:1<=x^2+y^2<=2}$
Ho usato la seconda formula cioè
$\int int (delf)/(dely) dx dy= -\int x^2y dx$ il secondo esteso alla frontiera di D
Ho risolto il primo ed il risultato è $3/4\pi$, che dovrebbe essere quello giusto, ma l'altro mi da un risultato diverso. L'ho risolto considerando la frontiera unione delle due circonferenze della corona circolare, percorse la prima in senso orario e la seconda antiorario, poi ho parametrizzato e risolto gli integrali...Il primo come
$\int -cos^2t*sen^2t dt$ con $2\pi<=t<=0$
ed il secondo
$\int -2cos^2t*2sen^2t dt$ con $o<=t<=2\pi$
Potete dirmi cosa sbaglio?
Risposte
Nel secondo non mi torna la costante numerica: dovrebbe venire un $4$ per il quadrato della $x$ e un altro $4$ dovuto al prodotto $y\ dx$.
Perchè 4? non dovrebbe essere $(sqrt2)^2$ e $sqrt2*sqrt2$?
Opps. Errore mio, scusa. Non so perché, ma pensavo alla circonferenza di raggio 2.
A me viene il risultato $3\pi/4$. Come hai calcolato l'integrale (quello che dovrebbe venire se hai fatto i calcoli giusti)
[tex]$3\int_0^{2\pi}\cos^2 t\sin^2 t\ dt$[/tex]?
[tex]$3\int_0^{2\pi}\cos^2 t\sin^2 t\ dt$[/tex]?
Ora l'ho calcolato per parti come $\int (sen^2t cost)*cost dt$ e mi da il risultato giusto..Prima invece provavo sostituendo $cos^2t$ con $1-sen^2t$ ma il risultato era sbagliato...
Ti dico come l'avrei fatto io: visto che [tex]$2\sin t\cos t=\sin(2t)$[/tex] ottieni
[tex]3\int_0^{2\pi}\cos^2 t\sin^2 t\ dt=\frac{3}{4}\int_0^{2\pi}\sin^2(2t)\ dt=$[/tex] (per le formule di bisezione)
[tex]$=\frac{3}{4}\int_0^{2\pi}\frac{1-\cos(4t)}{2}\ dt=\frac{3}{4}\left[\frac{t}{2}-\frac{\sin(4t)}{8}\right]_0^{2\pi}=\frac{3}{4}\cdot\frac{2\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}$[/tex]
[tex]3\int_0^{2\pi}\cos^2 t\sin^2 t\ dt=\frac{3}{4}\int_0^{2\pi}\sin^2(2t)\ dt=$[/tex] (per le formule di bisezione)
[tex]$=\frac{3}{4}\int_0^{2\pi}\frac{1-\cos(4t)}{2}\ dt=\frac{3}{4}\left[\frac{t}{2}-\frac{\sin(4t)}{8}\right]_0^{2\pi}=\frac{3}{4}\cdot\frac{2\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}$[/tex]
Ok, grazie mille per l'aiuto 
Prego.
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