Esercizio sulle derivate
Salve, è da poco che ho iniziato il mio studio sulle derivate, mi sono imbattuto nell'esercizio di seguito di cui non riesco a trovare soluzione. Il testo è il seguente:
Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata della funzione: $y=(1/sqrt(x))$ nel punto $x=5$.
A questo punto vado a fare il rapporto incrementale ed ottengo:
$((1/(sqrt(5+h)))-(1/(sqrt(5))))/h$
vado a fare il limite del rapporto incrementale al tendere di h a 0:
$lim_(h->0)((1/(sqrt(5+h)))-(1/(sqrt(5))))/h$
se i miei passaggi fino ad ora sono corretti, come procedo nella soluzione del limite? Mi servirebbe vedere i passaggi seguenti quali sono perchè non riesco ad andare avanti. Grazie a tutti in anticipo
Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata della funzione: $y=(1/sqrt(x))$ nel punto $x=5$.
A questo punto vado a fare il rapporto incrementale ed ottengo:
$((1/(sqrt(5+h)))-(1/(sqrt(5))))/h$
vado a fare il limite del rapporto incrementale al tendere di h a 0:
$lim_(h->0)((1/(sqrt(5+h)))-(1/(sqrt(5))))/h$
se i miei passaggi fino ad ora sono corretti, come procedo nella soluzione del limite? Mi servirebbe vedere i passaggi seguenti quali sono perchè non riesco ad andare avanti. Grazie a tutti in anticipo
Risposte
il risultato fino a quel punto è corretto, ora devi risolvere il limite:
\begin{align}
\lim_{h\to0}\frac{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5+h}}-\frac{1}{\sqrt 5}}{h}&=\lim_{h\to0} \frac{1}{h}\cdot\left(\frac{1}{ \sqrt{5+h}}-\frac{1}{ \sqrt 5}\right)=\lim_{h\to0} \frac{1}{h}\cdot\frac{ \sqrt 5- \sqrt{5+h}}{ \sqrt 5 \sqrt{5+h}} \\
&=\lim_{h\to0} \frac{1}{\sqrt 5 h}\cdot\frac{ \sqrt 5- \sqrt{5+h}}{ \sqrt{5+h}} \cdot\frac{ \sqrt 5+ \sqrt{5+h}}{ \sqrt 5+ \sqrt{5+h}}=\lim_{h\to0} \frac{1}{\sqrt 5 h}\cdot\frac{-h}{ \sqrt 5 \sqrt{5+h}+5+h}\\
&= \lim_{h\to0} \frac{1}{\sqrt 5 }\cdot\frac{-1 }{ \sqrt 5 \sqrt{5+h}+5+h}=-\frac{1}{10\sqrt 5}
\end{align}
\begin{align}
\lim_{h\to0}\frac{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5+h}}-\frac{1}{\sqrt 5}}{h}&=\lim_{h\to0} \frac{1}{h}\cdot\left(\frac{1}{ \sqrt{5+h}}-\frac{1}{ \sqrt 5}\right)=\lim_{h\to0} \frac{1}{h}\cdot\frac{ \sqrt 5- \sqrt{5+h}}{ \sqrt 5 \sqrt{5+h}} \\
&=\lim_{h\to0} \frac{1}{\sqrt 5 h}\cdot\frac{ \sqrt 5- \sqrt{5+h}}{ \sqrt{5+h}} \cdot\frac{ \sqrt 5+ \sqrt{5+h}}{ \sqrt 5+ \sqrt{5+h}}=\lim_{h\to0} \frac{1}{\sqrt 5 h}\cdot\frac{-h}{ \sqrt 5 \sqrt{5+h}+5+h}\\
&= \lim_{h\to0} \frac{1}{\sqrt 5 }\cdot\frac{-1 }{ \sqrt 5 \sqrt{5+h}+5+h}=-\frac{1}{10\sqrt 5}
\end{align}
Grazie ad entrambi per l'esaurienti risposte!!
Posto di seguito un secondo esercizio al quale non riesco a dare soluzione:
Calcolare la derivata della funzione $senx + cosx$ nel punto $x=pi/3$
Calcolo il rapporto incrementale:
$(sen(pi/3+h)+cos(pi/3+h)-(senpi/3+cospi/3))/h$
fatte le dovute semplificazioni vado a calcolare il limite:
$lim_(h->0)(senh+cosh)/h$
il limite da me scritto si trova nella forma indeterinata. Credo di aver saltato qualche passaggio, chi mi sa dare l'esatto svolgimento dei passaggi? grazie di nuovo in anticipo.
Calcolare la derivata della funzione $senx + cosx$ nel punto $x=pi/3$
Calcolo il rapporto incrementale:
$(sen(pi/3+h)+cos(pi/3+h)-(senpi/3+cospi/3))/h$
fatte le dovute semplificazioni vado a calcolare il limite:
$lim_(h->0)(senh+cosh)/h$
il limite da me scritto si trova nella forma indeterinata. Credo di aver saltato qualche passaggio, chi mi sa dare l'esatto svolgimento dei passaggi? grazie di nuovo in anticipo.
quelle semplificazioni non mi tornano dovresti arrivare a qualcosa del genere ...
\begin{align}
&\lim_{h\to0}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}+h\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}+h\right)-\sin\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{3}}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{\sin \frac{\pi}{3}\cos h +\cos \frac{\pi}{3}\sin h+\cos \frac{\pi}{3}\cos h-\sin \frac{\pi}{3}\sin h -\sin\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{3}}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{\sin \frac{\pi}{3}\left(\cos h-\sin h-1\right) +\cos \frac{\pi}{3}\left(\sin h+\cos h-1\right) }{h}\\
\end{align}
\begin{align}
&\lim_{h\to0}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}+h\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}+h\right)-\sin\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{3}}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{\sin \frac{\pi}{3}\cos h +\cos \frac{\pi}{3}\sin h+\cos \frac{\pi}{3}\cos h-\sin \frac{\pi}{3}\sin h -\sin\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{3}}{h}\\
&=\lim_{h\to0}\frac{\sin \frac{\pi}{3}\left(\cos h-\sin h-1\right) +\cos \frac{\pi}{3}\left(\sin h+\cos h-1\right) }{h}\\
\end{align}
Grazie Noisemaker, sono arrivato anche io al limite $lim_(h->0)(sen(pi/3+h)+cos(pi/3+h)-senpi/3-cos(pi/3))/h$ , ma poi come hai fatto a calcolare la seconda riga nella tua soluzione?
formule di addizione
\[ \sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha \cos\beta+ \cos\alpha \sin\beta \]
\[ \cos(\alpha -\beta)= \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \]
\[ \sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha \cos\beta+ \cos\alpha \sin\beta \]
\[ \cos(\alpha -\beta)= \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \]
ecco, mi mancavano ed ora mi metto a studiarle. Grazie ancora!!!
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