Esercizio sulla Trasformata di Laplace
salve mi sono fermato perchè ho un dubbio:
Sia l'equazione differenziale:
$y'(t) + 2y(t) = x(t)$
la devo risolvere a condizioni iniziali nulle prima considerando $x(t)=25$ e poi per $x(t)=25*1(t)$ dove $1(t)$ è il gradino unitario
il mio dubbio è proprio sulla trasformata dei due ingressi x(t), infatti qual'è la trasformata di una costante?
Sia l'equazione differenziale:
$y'(t) + 2y(t) = x(t)$
la devo risolvere a condizioni iniziali nulle prima considerando $x(t)=25$ e poi per $x(t)=25*1(t)$ dove $1(t)$ è il gradino unitario
il mio dubbio è proprio sulla trasformata dei due ingressi x(t), infatti qual'è la trasformata di una costante?
Risposte
Non mi è chiarissimo tutto il tuo problema, non per cattiva esposizione, ma per mia ignoranza. Ti chiedo scusa; rispondo solo alla tua ultima domanda: se non sbaglio la trasformata di $f(t)=1$ è $1/s$. Dunque, generalizzando, la trasformata di Laplace di una costante $k$ è $\ccL[f(x)](s)=k/s$.
Ciao,
Paolo.
Ciao,
Paolo.
forse è meglio che è espongo il problema per intero:
considerata sempre quell'equazione differenziale, sia:
$x(t) ={(2,if t<0),(2+1(t),if t>0):}$
calcolare l'uscita $y(t)$ per $t>0$
vi prego datemi una mano perchè non riesco a venirne a capo
considerata sempre quell'equazione differenziale, sia:
$x(t) ={(2,if t<0),(2+1(t),if t>0):}$
calcolare l'uscita $y(t)$ per $t>0$
vi prego datemi una mano perchè non riesco a venirne a capo
"9876543210":
forse è meglio che è espongo il problema per intero:
considerata sempre quell'equazione differenziale, sia:
$x(t) ={(2,if t<0),(2+1(t),if t>0):}$
calcolare l'uscita $y(t)$ per $t>0$
vi prego datemi una mano perchè non riesco a venirne a capo
Dunque, qui c'è qualcosa che non mi torna. Hai cambiato un po' le carte in tavola o sbaglio? Io non so gestire la funzione gradino di Heaviside, però, se vuoi so risolvere con la trasformata di Laplace l'equazione da te proposta, con $x(t)=25$.
Infatti, data $y'(t)+2y(t)=25$ (con condizione iniziale $y(0)=0$) si ha, ricordando la formula per la trasformata di una derivata e per la linearità dell'operazione di trasformazione, $Y(s) +2Y(s)=25/s$, dove $Y(s)$ denota la trasformata di $y$. Risolvendo questa equazione in $Y(s)$ si trae $Y(s)=25/(s^2+2s)$. Antitrasformando, $y(x)=-25e^(-2x)/2+25/2$ che è appunto soluzione del problema proposto (lo si può verificare facilmente sostituendo nell'equazione data).
Sperando di averti aiutato, ti saluto.
Paolo
il problema è che se la funzione costante e la funzione gradino hanno la stessa trasformata come faccio a risolvere quell'esercizio e a calcolare la y(t) per t>0?
il problema è che se la funzione costante e la funzione gradino hanno la stessa trasformata come faccio a risolvere quell'esercizio e a calcolare la y(t) per t>0?
Appurato che (mi sono documentato un po') la trasformata della funzione gradino è effettivamente $1/s$, penso che comunque i due casi restino distinti. Non vedo molti problemi. Se $t<0$ allora si procede come ho fatto vedere sopra; se $t>0$ l'equazione presenta a secondo membro $2+1(t)$. Evidentemente, proprio per la presenza della funzione di Heaviside, la trasformata di questa espressione è diversa dalla trasformata di $2$; infatti, $\ccL[2+1(t)](s)=2/s+1/s=3/s$. Quindi qualcosa cambia nella risoluzione dell'equazione, essendo la costante diversa. Giusto? Ho sparato tante cavolate?
Posta pure se hai bisogno.
Paolo
P.S. Non c'era bisogno di dirlo due volte
Ciao.
Posta pure se hai bisogno.
Paolo
P.S. Non c'era bisogno di dirlo due volte
Ciao.
"9876543210":
forse è meglio che è espongo il problema per intero:
considerata sempre quell'equazione differenziale, sia:
$x(t) ={(2,if t<0),(2+1(t),if t>0):}$
calcolare l'uscita $y(t)$ per $t>0$
vi prego datemi una mano perchè non riesco a venirne a capo
Dovresti specificare meglio l'insieme su cui vuoi determinare la soluzione. Visto che hai una funzione $x(t)$ anti-causale da trasformare mi viene da pensare che vuoi la soluzione sull'intero $RR$. In questo caso però devi usare la trasformata bilatera di Laplace:
$ccB[f(t)]=int_(-oo)^(oo)e^(-st)f(t)"d"t=ccL[f(t)](s)+ccL[f(-t)](-s)$,
dove con $ccL[cdot]$ intendo la solita trasformata unilatera. Nel tuo caso quindi
$X(s)=ccB[x(t)]=ccL[3](s)+ccL[2](-s)=1/s$.
ok, allora a condizioni iniziali nulle mi calcolo la risposta per t<0 con ingresso $2/s$, poi da questa espressione mi calcolo il valore di $y(0)$
e poi usando come condizioni iniziali quelle appena ottenute mi calcolo la risposta per t>0 con ingresso $3/s$
può andare come risoluzione di quest'esercizio(purtroppo non ho il risultato che deve uscire)?
ps. non so la trasformata bilatera noi abbiamo fatto solo quella unilatera però il prof ci disse per quest'esercizio di sfruttare la linearità, altro non ha detto.
ps2. oppure se mi calcolo la risposta all'impulso e faccio la convoluzione da 0 a t>0 può essere corretto?
e poi usando come condizioni iniziali quelle appena ottenute mi calcolo la risposta per t>0 con ingresso $3/s$
può andare come risoluzione di quest'esercizio(purtroppo non ho il risultato che deve uscire)?
ps. non so la trasformata bilatera noi abbiamo fatto solo quella unilatera però il prof ci disse per quest'esercizio di sfruttare la linearità, altro non ha detto.
ps2. oppure se mi calcolo la risposta all'impulso e faccio la convoluzione da 0 a t>0 può essere corretto?
"elgiovo":
[quote="9876543210"]forse è meglio che è espongo il problema per intero:
considerata sempre quell'equazione differenziale, sia:
$x(t) ={(2,if t<0),(2+1(t),if t>0):}$
calcolare l'uscita $y(t)$ per $t>0$
vi prego datemi una mano perchè non riesco a venirne a capo
Dovresti specificare meglio l'insieme su cui vuoi determinare la soluzione.[/quote]
Aspetta aspetta! Ho quotato il mio intervento precedente per far vedere quanto mi sono contraddetto!
In realtà tu avevi specificato l'insieme su cui risolvere l'equazione. Quello che hai detto prima non va bene, perchè nel primo post hai detto di dover risolvere il problema di Cauchy${(y'(t)+2y(t)=x(t)),(y(0)=0),(y'(0)=0):}$
Almeno per quanto ne so io l'allocuzione "condizioni iniziali nulle" si traduce matematicamente con le ultime due equazioni qua sopra. Visto che l'equazione differenziale descrive un sistema lineare e permanente in cui l'uscita dipende dall'ingresso istante per istante puoi ampiamente fregartene di ciò che accade prima di $t=0$ e risolvere il tutto con la trasformata di Laplace unilatera: in particolare $X(s)=3/s$. Il fatto che $y(0)=0$ lo adoperi nel dire che $ccL[y'(t)]=sY(s)-y(0)=sY(s)$.
lascia perdere il mio primo post delle condizioni iniziali nulle,era solo per sapere la differenza tra la trasformata della costante e quella del gradino....
la traccia originale,che è quella del mio secondo post,non parla delle condizioni iniziali e siccome il proff ci ha messo pure quel valore dell'ingresso per t<0 avevo supposto che serviva per determinare le condizioni iniziali per calcolare la risposta per t>0
ma se volessi l'andamento della risposta da -oo a 0 a quanto equivarrebbe la trasformata di 2?
la traccia originale,che è quella del mio secondo post,non parla delle condizioni iniziali e siccome il proff ci ha messo pure quel valore dell'ingresso per t<0 avevo supposto che serviva per determinare le condizioni iniziali per calcolare la risposta per t>0
ma se volessi l'andamento della risposta da -oo a 0 a quanto equivarrebbe la trasformata di 2?
Mmm... Ho qualche dubbio sull'applicabilità della trasformata di Laplace al tuo problema. Infatti volendolo risolvere tout court con la trasformata di Laplace bilatera dovresti calcolare $int_(-oo)^(oo) e^(-st)[2+u(t)]"d"t$, ma mi pare ovvio che l'integrale diverge. Io piuttosto userei la trasformata di Fourier, che è un pò più "gentile" con funzioni quali gradini, costanti ecc. Se $x(t)=2+u(t)$ hai che $ccF[x(t)]=X(omega)=-i/omega +5pi delta(omega)$.
il problema è che non abbiamo fatto fourier, ma solo laplace e l'integrale di convoluzione,forse è con quest'ultimo che si fa?
In tal caso tralascerei l'ingresso per $t<0$ e risolverei l'equazione $sY(s)+2Y(s)=3/s$. L'ingresso quindi è un normale gradino $x(t)=3*1(t)$, e l'uscita nell'istante iniziale vale certamente $y(0)=0$.
ok grazie di tutto....
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