Esercizio sulla Trasformata di fourier

[Primavera2]

Salve a tutti, vorrei chiedere aiuto per un esercizio che proprio non sono riuscito ad imbroccare, mi viene richiesto di fare la trasformata di fourier della seguente funzione:

$ f(x)=(x^2cosx)/(x^6+4x^4+5x^2+2) $

allora la prima cosa semplice che mi viene in mente è quella di scomporre cosx con le formule di eulero in modo da poter usare poi per la trasformata la formula del ritardo cioè

$ g(t)=e^(i(omega)_(0)t)f(t) $ per cui $ hat(g)(omega)= hat(f)(omega-omega_(0)) $

quindi nel mio caso se scomponessi in $ (x^2e^(ix))/(2(x^6+4x^4+5x^2+2)) +(x^2e^(-ix))/(2(x^6+4x^4+5x^2+2)) $

mi rimarrebbe da calcolare solo la trasformata di $ (x^2)/(x^6+4x^4+5x^2+2) $ a cui proprio nn saprei dove andare a mettere mano....qualche aiutino? Grazie

[Primavera2]

Nessuno che può aiutarmi?

[gugo82]

Guarda, hai:
\[
\begin{split}
x^6+4x^4+5x^2+2 &= (x^6+3x^4+3x^2+1)+(x^4+2x^2+1)\\
&=(x^2+1)^3+(x^2+1)^2\\
&= (x^2+1)^2 (x^2+2)
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\frac{x^2}{x^6+4x^4+5x^2+2} &= \frac{x^2}{(x^2+1)^2 (x^2+2)}\\
&= \frac{2}{x^2+1} - \frac{1}{(x^2+1)^2} + \frac{2}{x^2+2}
\end{split}
\]
Vedi se può esserti utile.

[Primavera2]

Grazie per l'aiuto rivedendo i conti per la scomposizione in fratti semplici sei sicuro venga $ 2/(x^2+1) $ ?

a me al posto di quel 2 viene $ 4i $ usando i residui

[gugo82]

Una scomposizione in fratti reali di una funzione razionale reale non può avere coefficienti complessi.

Poni \(t=x^2\), cosicché devi determinare \(A,B,C\) tali che:
\[
\frac{t}{(t+1)^2(t+2)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{(t+1)^2} +\frac{C}{t+2}\; .
\]
Per il Principio d'Identità dei Polinomi, ciò è possibile solo se:
\[
t=A(t+1)(t+2)+B(t+2)+C(t+1)^2=(A+C)t^2+(3A+B+2C)t+(2A+2B+C)
\]
ossia se:
\[
\begin{cases}
A+C=0\\
3A+B+2C=1\\
2A+2B+C=0
\end{cases} \qquad \Leftrightarrow \qquad
\begin{cases}
A+C=0\\
A+B=1\\
A+2B=0
\end{cases}
\]
da cui \(A=2,B=-1,C=-2\).
Quindi è sbagliato il segno solo dell'ultimo fratto; la scomposizione giusta è:
\[
\frac{x^2}{(x^2+1)^2(x^2+2)} = \frac{2}{x^2+1} - \frac{1}{(x^2+1)^2} -\frac{2}{x^2+2}\; .
\]

[Primavera2]

ok grazie del tuo aiuto ora nn mi resta che provare a fare le trasformate di

$ (2e^((ix)))/(2(x^2+1})+ (2e^((-ix)))/(2(x^2+1}) -( ( e^(ix)/(2(x^2+1)^2)) +(e^(-ix)/(2(x^2+1)^2))) -(((2e^(ix))/(2(x^2+2)))+((2e^(-ix))/(2(x^2+2)))) $