Esercizio sulla successione e calcolo del limite.

[StellaMartensitica]

Salve,
questo è un esercizio che sul libro da cui l'ho preso (il Munarini) ha una parziale soluzione. Però non riesco a capire ne il primo ne la seconda.
Mostrare che la successione con termine generale:
$f_n=1/(n+1) +1/(n+2)+...+1/(2n)$
è convergente e determinare una limitazione inferiore e superiore del limite. Mostrare poi che

$lim_(n->+infty)(f_n)=lim_(n->+infty)(1-1/2+1/3-1/4+...+1/(2n-1)-1/(2n))$

Ho dimostrato che la funzione è monotona crescente, cioè che
$f_(n+1)>f_n$

$1/(n+2)+1/(n+3)+1/(n+4)+...+1/(2n)+1/(2n+1)+1/(2n+2)>1/(n+1) +1/(n+2)+...+1/(2n)$

$1/(2n+1)+1/(2n+2)>1/(n+1)$

$4n^2+4n+3n+3>4n^2+2n+4n+2$

$n > -1$ che è sempre vera in quanto $n in NN$.

Poi ho dimostrato che è limitata , in quanto:

$1/(2n) + 1/(2n)+ 1/(2n)+...+1/(2n)
$1/2
Quindi per la conservazione dell'ordine si ha:

$1/2+infty)(f_n)<1$

E fino qui niente problemi ma non so come ragionare per la seconda parte dell'esercizio.

Il libro esprime in un modo diverso $f_n$, in particolare scrive:

$f_n= f_1+(f_2-f_1)+(f_3-f_2)+...+(f_n-f_(n-1))=$

$=1/2+(1/2-1/4)+(1/5-1/6)+...+(1/(2n-1)-1/(2n))=$

$=1-1/2+1/3-1/4+...+1/(2n-1)-1/(2n)$

ma non capisco questo modo di riscrivere la successione, non capisco da dove esce e come bisogna ragionare per arrivarci. Cioè, io posso anche impararmi a memora la soluzione di questo specifico esercizio e voltare pagina ma se poi mi capita un esercizio simile ma non uguale all'esame come posso ragionare per risolvere tutti i problemi di questo tipo?

Poi alla fine il libro scrive che si può dimostrare, usando questa ultima uguaglianza che:
$lim_(n->+infty)(f_n)=ln(2)$
Però non scrive come si fa. Potreste darmi qualche spunto o una bozza di procedimento per dimostrare questo limite?

[pilloeffe]

Ciao SirDanielFortesque,

"SirDanielFortesque":Il libro esprime in un modo diverso $f_n $, in particolare scrive [...]

Quella che hai scritto è un'identità; infatti, considerando qualche termine in più, si può scrivere

$ f_n = f_1+(f_2-f_1)+(f_3-f_2)+(f_4-f_3)...+(f_(n-1)-f_(n-2)) + (f_n-f_(n-1)) $

Se osservi bene la parte di destra, ti dovresti rendere conto facilmente che si semplificano tutti i termini e alla fine rimane proprio $f_n $
Per quanto riguarda l'altra questione, osserverei che si ha:

$ \lim_{n \to +\infty} f_n = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k = 1}^{2n} (-1)^{k - 1} 1/k = \sum_{k = 1}^{+\infty} (-1)^{k - 1} x^k/k |_{x = 1} $ $= ln(1 + x)|_{x = 1} = ln 2 $

[StellaMartensitica]

Grazie davvero tanto. Ho capito adesso.