Esercizio sulla Sommatoria
Salve a tutti,
ho bisogno di una mano nel calcolare questa serie:
$sum_{1}^{n-1} (n-k)$
non riesco a risolverla in alcun modo....potete darmi una mano ?
ho bisogno di una mano nel calcolare questa serie:
$sum_{1}^{n-1} (n-k)$
non riesco a risolverla in alcun modo....potete darmi una mano ?
Risposte
È $k$ che va da $1$ a $n-1$?
si, mi scuso per l'errata scrittura
Allora
$sum_{k=1}^{n-1} (n-k) = sum_{k=1}^{n-1} n - sum_{k=1}^{n-1} k$
La prima sommatoria è fatta da $n-1$ addendi tutti uguali a $n$, mentre la seconda è la somma dei primi $n-1$ numeri naturali che è noto essere $(n*(n-1))/2$, sostituendo
$sum_{k=1}^{n-1} n - sum_{k=1}^{n-1} k = n*(n-1) - ((n-1)*n)/2 = (2n*(n-1) - (n-1)*n)/2 = (n*(n-1))/2$
$sum_{k=1}^{n-1} (n-k) = sum_{k=1}^{n-1} n - sum_{k=1}^{n-1} k$
La prima sommatoria è fatta da $n-1$ addendi tutti uguali a $n$, mentre la seconda è la somma dei primi $n-1$ numeri naturali che è noto essere $(n*(n-1))/2$, sostituendo
$sum_{k=1}^{n-1} n - sum_{k=1}^{n-1} k = n*(n-1) - ((n-1)*n)/2 = (2n*(n-1) - (n-1)*n)/2 = (n*(n-1))/2$
Ok perfetto ! un'ultima cosa la somma dei primi n-1 termini da che formula la otteniamo ? cioè come la otteniamo ?
Non conosci il famosissimo aneddoto su Gauss bambino? 
Se tu devi sommare i numeri naturali che vanno da $1$ a $n$ puoi fare così ...
Scrivi in fila tutti i numeri naturali da $1$ a $n$ così ...
$1\ 2\ 3\ ...\ (n-1)\ n$ poi li riscrivi sotto in ordine contrario così
$n\ (n-1)\ (n-2)\ ...\ 2\ 1$
Ora se fai le somme in verticale otterrai sempre $n+1$ cioè [$(n+1), (n-1+2), (n-2+3), ...$] e di queste somme ne avrai $n$ per un somma totale di $n(n+1)$ da dividere pe due perché le liste sono due ...
Cordialmente, Alex
Se tu devi sommare i numeri naturali che vanno da $1$ a $n$ puoi fare così ...
Scrivi in fila tutti i numeri naturali da $1$ a $n$ così ...
$1\ 2\ 3\ ...\ (n-1)\ n$ poi li riscrivi sotto in ordine contrario così
$n\ (n-1)\ (n-2)\ ...\ 2\ 1$
Ora se fai le somme in verticale otterrai sempre $n+1$ cioè [$(n+1), (n-1+2), (n-2+3), ...$] e di queste somme ne avrai $n$ per un somma totale di $n(n+1)$ da dividere pe due perché le liste sono due ...
Cordialmente, Alex
ah ok adesso è facilissimo XD
se invece avessi avuto :
$sum_{k=1}^{n-1} (n-k)^2 $
come avrei dovuto procedere ?
se invece avessi avuto :
$sum_{k=1}^{n-1} (n-k)^2 $
come avrei dovuto procedere ?
Sviluppavi e poi risolvevi le tre sommatorie (più semplici) risultanti ...
il problema è risolvere la sommatoria:
$sum_{k=1}^{n-1} nk$
$sum_{k=1}^{n-1} nk$
Ma $n$ è una costante, l'indice è $k$, è quello che varia mentre $n$ non varia perciò la "porti fuori" ...
Ok quindi ho fatto :
$\sum_{k=1}^{n-1} n^2 = n^2 (n-1)$
$\sum_{k=1}^{n-1} nk = -n^2 (n-1)$
invece per $k^2$ come faccio ?
$\sum_{k=1}^{n-1} n^2 = n^2 (n-1)$
$\sum_{k=1}^{n-1} nk = -n^2 (n-1)$
invece per $k^2$ come faccio ?
La somma dei primi $m$ quadrati è un'altra sommatoria famosissima (d'altra parte sono quelle "basiche")
$\sum_{k=1}^{n} k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6$
Nota: fai attenzione che ho cambiato l'indice superiore perché ho riportato quella nella forma più usata (quindi non ho usato il "tuo" indice ma penso che tu sia in grado di adattarla alle tue esigenze ...
)
$\sum_{k=1}^{n} k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6$
Nota: fai attenzione che ho cambiato l'indice superiore perché ho riportato quella nella forma più usata (quindi non ho usato il "tuo" indice ma penso che tu sia in grado di adattarla alle tue esigenze ...
)
Ok, grazie mille per l'aiuto 
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