Esercizio sulla distanza

Thomas16
questo es l'ho pensato io...

dimostrare o confutare: data una distanza $d$ su un insieme di $n$ elementi, esiste sempre una isometria (rispetto alla distanza $d$ nel dominio ed a quella euclidea nel codominio) che ad ognuno degli n elementi associa un punto di $R^(n-1)$.

hint: per n=1, n=2 ed n=3 è vero??? cambia qualcosa per dimensioni superiori??

Risposte
Luca.Lussardi
Per $n=1$ il problema non è ben posto, poichè la funzione distanza deve agire su almeno due punti distinti, per non essere banale.

Mi pare che nei casi $n=2,3$ sia vero, e discenda dagli assiomi di distanza il fatto che sia possibile la costruzione dell'isometria.

Thomas16
Ok...

in effetti per n=1 c'è ben poco da controllare... del resto non so nemmeno se $R^(0)$ è ben definito (io lo prendevo come insieme munito del solo zero, non so perchè)...

per n=2 ed n=3 tutto ok...

Thomas16
Dai su, non è carino?? dò un suggerimento... se quella roba fosse vera, e lo è per n piccoli come si è visto, credo proprio che la teoria degli spazi metrici andrebbe sconvolta... in effetti ora che ci penso una isometria dovrebbe essere continua e se è anche surgettiva sarebbe un omeomorfismo... ovvero tutti gli spazi metrici (perlomeno ad elementi finiti) sarebbero omeomorfi ad un sottospazio di $R^n$... ovvero tutte le distanze in sostanza sarebbero quella euclidea... Premesso tutto ciò, chi vuole evitare la catastrofe e trovare un contro-esempio ??? :D

Fioravante Patrone1
"Thomas":
se quella roba fosse vera, e lo è per n piccoli come si è visto, credo proprio che la teoria degli spazi metrici andrebbe sconvolta...


esagerato!
stiamo comunque parlando di spazi metrici finiti
il tuo post iniziale infatti dice:
"data una distanza $d$ su un insieme di $n$ elementi"

ora, dal punto di vista topologico, tutte le metriche su un insieme con un numero finito di elementi sono equivalenti: tutte inducono la topologia discreta, che "non serve a niente"...

insomma, passeremo comunque un'estate tranquilla!

ciao

Thomas16
anche tu hai ragione Fioravante :-D ... topologicamente non cambia nulla :?...
cmq anche solo per n finito sarebbe una bella "classificazione" (magari non topologica...numerica o immaginativa) delle distanze su insiemi finiti, no?...

in ogni caso... era solo per farvi paura, ma non ci sono riuscito, accidenti :evil:


ps: però... fanno proprio schifo le distanze su insiemi finiti....

Fioravante Patrone1
"Thomas":

cmq anche solo per n finito sarebbe una bella "classificazione" (magari non topologica...numerica o immaginativa) delle distanze su insiemi finiti, no?...


di carino ci trovo la relazione tra il numero di elementi dell'insieme e la dimensione di cui si ha bisogno per l'immersione (ammesso sia vero, se non ho capito male non sai se la proposizione è vera o falsa)


in ogni caso... era solo per farvi paura, ma non ci sono riuscito, accidenti :evil:

ci vuole ben altro! :smt077



ps: però... fanno proprio schifo le distanze su insiemi finiti....

per i miei gusti, sì.
Però la schifezza vale per le proprietà topologiche indotte, non per le metriche "di per sé".
Sapere, che so, che la distanza "stradale" tra A e B è 20 volte quella "in linea d'aria" è utile...

ciao

Thomas16
[quote=Fioravante Patrone]

di carino ci trovo la relazione tra il numero di elementi dell'insieme e la dimensione di cui si ha bisogno per l'immersione (ammesso sia vero, se non ho capito male non sai se la proposizione è vera o falsa)

[\quote]


no no... la proposizione è falsa, o almeno, credo di avere trovato un contro-esempio :-D (n=4)... proponevo l'esercizio perchè mi sembrava carino... cmq ora vado in vacanze... tra una settimana torno... se nessun posta un contro-esempio vi proporrò il mio...

Thomas16
Scrivo il procedimento per trovare il contro-esempio:

Fissiamo le distanze prima sui 3 punti e disegniamo il triangolo che rappresenta il tutto sul piano. Ora fissando le distanze di questi 3 punti dal quarto noi fissiamo le sfere centrate sui primi 3 punti su cui deve giacere il quarto punto. Se queste 3 sfere si intersecano a 2 a 2 gli assiomi della distanza sono rispettati (visto che sono relazioni ternarie), ma se le facciamo di modo che non abbiano intersezione comune tutte e 3, non si potrà mai ottenere una rappresentazione del tipo voluta.

Carino, no?? (sempre che sia corretto)

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