Esercizio sulla distanza
questo es l'ho pensato io...
dimostrare o confutare: data una distanza $d$ su un insieme di $n$ elementi, esiste sempre una isometria (rispetto alla distanza $d$ nel dominio ed a quella euclidea nel codominio) che ad ognuno degli n elementi associa un punto di $R^(n-1)$.
hint: per n=1, n=2 ed n=3 è vero??? cambia qualcosa per dimensioni superiori??
dimostrare o confutare: data una distanza $d$ su un insieme di $n$ elementi, esiste sempre una isometria (rispetto alla distanza $d$ nel dominio ed a quella euclidea nel codominio) che ad ognuno degli n elementi associa un punto di $R^(n-1)$.
hint: per n=1, n=2 ed n=3 è vero??? cambia qualcosa per dimensioni superiori??
Risposte
Per $n=1$ il problema non è ben posto, poichè la funzione distanza deve agire su almeno due punti distinti, per non essere banale.
Mi pare che nei casi $n=2,3$ sia vero, e discenda dagli assiomi di distanza il fatto che sia possibile la costruzione dell'isometria.
Mi pare che nei casi $n=2,3$ sia vero, e discenda dagli assiomi di distanza il fatto che sia possibile la costruzione dell'isometria.
Ok...
in effetti per n=1 c'è ben poco da controllare... del resto non so nemmeno se $R^(0)$ è ben definito (io lo prendevo come insieme munito del solo zero, non so perchè)...
per n=2 ed n=3 tutto ok...
in effetti per n=1 c'è ben poco da controllare... del resto non so nemmeno se $R^(0)$ è ben definito (io lo prendevo come insieme munito del solo zero, non so perchè)...
per n=2 ed n=3 tutto ok...
Dai su, non è carino?? dò un suggerimento... se quella roba fosse vera, e lo è per n piccoli come si è visto, credo proprio che la teoria degli spazi metrici andrebbe sconvolta... in effetti ora che ci penso una isometria dovrebbe essere continua e se è anche surgettiva sarebbe un omeomorfismo... ovvero tutti gli spazi metrici (perlomeno ad elementi finiti) sarebbero omeomorfi ad un sottospazio di $R^n$... ovvero tutte le distanze in sostanza sarebbero quella euclidea... Premesso tutto ciò, chi vuole evitare la catastrofe e trovare un contro-esempio ??? 
"Thomas":
se quella roba fosse vera, e lo è per n piccoli come si è visto, credo proprio che la teoria degli spazi metrici andrebbe sconvolta...
esagerato!
stiamo comunque parlando di spazi metrici finiti
il tuo post iniziale infatti dice:
"data una distanza $d$ su un insieme di $n$ elementi"
ora, dal punto di vista topologico, tutte le metriche su un insieme con un numero finito di elementi sono equivalenti: tutte inducono la topologia discreta, che "non serve a niente"...
insomma, passeremo comunque un'estate tranquilla!
ciao
anche tu hai ragione Fioravante 
... topologicamente non cambia nulla 
...
cmq anche solo per n finito sarebbe una bella "classificazione" (magari non topologica...numerica o immaginativa) delle distanze su insiemi finiti, no?...
in ogni caso... era solo per farvi paura, ma non ci sono riuscito, accidenti
ps: però... fanno proprio schifo le distanze su insiemi finiti....
... topologicamente non cambia nulla ... cmq anche solo per n finito sarebbe una bella "classificazione" (magari non topologica...numerica o immaginativa) delle distanze su insiemi finiti, no?...
in ogni caso... era solo per farvi paura, ma non ci sono riuscito, accidenti
ps: però... fanno proprio schifo le distanze su insiemi finiti....
"Thomas":
cmq anche solo per n finito sarebbe una bella "classificazione" (magari non topologica...numerica o immaginativa) delle distanze su insiemi finiti, no?...
di carino ci trovo la relazione tra il numero di elementi dell'insieme e la dimensione di cui si ha bisogno per l'immersione (ammesso sia vero, se non ho capito male non sai se la proposizione è vera o falsa)
in ogni caso... era solo per farvi paura, ma non ci sono riuscito, accidenti
ci vuole ben altro!
ps: però... fanno proprio schifo le distanze su insiemi finiti....
per i miei gusti, sì.
Però la schifezza vale per le proprietà topologiche indotte, non per le metriche "di per sé".
Sapere, che so, che la distanza "stradale" tra A e B è 20 volte quella "in linea d'aria" è utile...
ciao
[quote=Fioravante Patrone]
di carino ci trovo la relazione tra il numero di elementi dell'insieme e la dimensione di cui si ha bisogno per l'immersione (ammesso sia vero, se non ho capito male non sai se la proposizione è vera o falsa)
[\quote]
no no... la proposizione è falsa, o almeno, credo di avere trovato un contro-esempio (n=4)... proponevo l'esercizio perchè mi sembrava carino... cmq ora vado in vacanze... tra una settimana torno... se nessun posta un contro-esempio vi proporrò il mio...
di carino ci trovo la relazione tra il numero di elementi dell'insieme e la dimensione di cui si ha bisogno per l'immersione (ammesso sia vero, se non ho capito male non sai se la proposizione è vera o falsa)
[\quote]
no no... la proposizione è falsa, o almeno, credo di avere trovato un contro-esempio
(n=4)... proponevo l'esercizio perchè mi sembrava carino... cmq ora vado in vacanze... tra una settimana torno... se nessun posta un contro-esempio vi proporrò il mio...
Scrivo il procedimento per trovare il contro-esempio:
Fissiamo le distanze prima sui 3 punti e disegniamo il triangolo che rappresenta il tutto sul piano. Ora fissando le distanze di questi 3 punti dal quarto noi fissiamo le sfere centrate sui primi 3 punti su cui deve giacere il quarto punto. Se queste 3 sfere si intersecano a 2 a 2 gli assiomi della distanza sono rispettati (visto che sono relazioni ternarie), ma se le facciamo di modo che non abbiano intersezione comune tutte e 3, non si potrà mai ottenere una rappresentazione del tipo voluta.
Carino, no?? (sempre che sia corretto)
Fissiamo le distanze prima sui 3 punti e disegniamo il triangolo che rappresenta il tutto sul piano. Ora fissando le distanze di questi 3 punti dal quarto noi fissiamo le sfere centrate sui primi 3 punti su cui deve giacere il quarto punto. Se queste 3 sfere si intersecano a 2 a 2 gli assiomi della distanza sono rispettati (visto che sono relazioni ternarie), ma se le facciamo di modo che non abbiano intersezione comune tutte e 3, non si potrà mai ottenere una rappresentazione del tipo voluta.
Carino, no?? (sempre che sia corretto)
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