Esercizio sulla differenziabilità
Salve a tutti, vorrei chiedervi dei chiarimenti su un esercizio di analisi:
-Si consideri la funzione \(f : \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) de finita da
\[
f(x, y) =
\begin{cases}
(x^4 + y^2) \log[1/(x^2+y^2)] & x\neq 0,\\
0, & x=0
\end{cases}
\]
e mi chiede di dimostrare che f è differenziabile in (0,0).
Ora in (0,0) ho che x=0, quindi ho che f(x,y) è uguale alla funzione nulla quindi devo dire se f(x,y)= 0 è differenziabile?
Io so che una funzione è differenziabile quando in un punto puo essere decomposta in un approssimazione lineare piu un resto e il limite di tale resto deve tendere a 0. Ma qui che devo fare se ho tutto nullo??
-Si consideri la funzione \(f : \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) de finita da
\[
f(x, y) =
\begin{cases}
(x^4 + y^2) \log[1/(x^2+y^2)] & x\neq 0,\\
0, & x=0
\end{cases}
\]
e mi chiede di dimostrare che f è differenziabile in (0,0).
Ora in (0,0) ho che x=0, quindi ho che f(x,y) è uguale alla funzione nulla quindi devo dire se f(x,y)= 0 è differenziabile?
Io so che una funzione è differenziabile quando in un punto puo essere decomposta in un approssimazione lineare piu un resto e il limite di tale resto deve tendere a 0. Ma qui che devo fare se ho tutto nullo??
Risposte
"lore1990":
Ora in (0,0) ho che x=0, quindi ho che f(x,y) è uguale alla funzione nulla quindi devo dire se f(x,y)= 0 è differenziabile?
Non capisco la domanda...
\(\displaystyle f(x,y)= \begin{cases} (x^4 + y^2) \ln \left ( \frac{1}{x^2}+y^2 \right ) & x \ne 0 \\ 0 & x=0 \end{cases} \)
Una funzione a due variabili è differenziabile in un punto $(x_0,y_0)$ se e solo se
$lim_((h,k) ->(0,0)) (f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)h - f_y (x_0,y_0)k)/(\sqrt(h^2+k^2)) = 0$
Mi intrufolo anche io nel discorso visto che ho dei dubbi pure io riguardo a questa cosa (cosi non apro un nuovo thread apposta 
) ... volevo chiedere,nella scrittura presentata da Brancaleone,ho una funzione definita a pezzi che cambia definizione per x uguale o diverso da 0. Ora se volessi studiare la continuità e differenziabilità sul suo dominio,ho che x deve essere diversa da 0,ma sulla y non ci sono condizioni.Allora non devo controllare il limite per (x,y)->(0,0) ma il limite di (x,y)->(0,b)? dove b è un qualsiasi valore (in pratica tutto l'asse delle y) ?
) ... volevo chiedere,nella scrittura presentata da Brancaleone,ho una funzione definita a pezzi che cambia definizione per x uguale o diverso da 0. Ora se volessi studiare la continuità e differenziabilità sul suo dominio,ho che x deve essere diversa da 0,ma sulla y non ci sono condizioni.Allora non devo controllare il limite per (x,y)->(0,0) ma il limite di (x,y)->(0,b)? dove b è un qualsiasi valore (in pratica tutto l'asse delle y) ?
la mia domanda è quale funzione devo studiare? il problema mi dice che f(x,y)=0 se x=0 e quindi nel punto che mi dice di studiare ovvero (0,0) ho la funzione nulla, quindi devo studiae la funzione f(x,y)=0? essendo una funzione nulla deduco che non è differenziabile?
Scusa se sono poco chiaro ma forse non ho capito proprio la richiesta del problema, bo..
Scusa se sono poco chiaro ma forse non ho capito proprio la richiesta del problema, bo..
a comunque l'argomento del logaritmo è 1/(x^2+y^2)..prima ho sbagliato a scrivere
"Bigz92":
Mi intrufolo anche io nel discorso visto che ho dei dubbi pure io riguardo a questa cosa (cosi non apro un nuovo thread apposta
Sicuramente questo è un problema più ampio e più delicato, perché rispetto a quello proposto da lore1990 qui si dovrebbe controllare la continuità e la differenziabilità non in un punto solo ma in tutto il dominio.
Per la funzione $f(x,y)$ scritta sopra sappiamo che sicuramente essa è continua per $x ne 0$ perché composizione di funzioni continue, mentre lungo l'asse $x$ bisognerebbe controllare punto per punto; la cosa varrebbe anche per la differenziabilità lungo l'asse.
"lore1990":
la mia domanda è quale funzione devo studiare? il problema mi dice che f(x,y)=0 se x=0 e quindi nel punto che mi dice di studiare ovvero (0,0) ho la funzione nulla, quindi devo studiae la funzione f(x,y)=0? essendo una funzione nulla deduco che non è differenziabile?
Scusa se sono poco chiaro ma forse non ho capito proprio la richiesta del problema, bo..
No
Devi mettere insieme le cose come in un puzzle: hai bisogno di
*$f(h,k)$ (in pratica è il caso $x ne 0$ con $h$ e $k$ al posto delle variabili $x$ e $y$;
*$f(0,0)$: questa la devi calcolare attraverso $lim_((x,y)->(0,0))(x^4 + y^2) ln(1/(x^2+y^2) )$: solo nel caso in cui essa sia uguale alla funzione nel caso $x=0$ allora potrà essere accettata, altrimenti vorrebbe dire che la funzione non è continua e che quindi non può di certo essere differenziabile;
*$f_x(x,y)$ e $f_y(x,y)$ si calcolano sempre dal caso $x ne 0$
Metti infine tutto insieme e calcoli il limite finale.
"lore1990":
a comunque l'argomento del logaritmo è 1/(x^2+y^2)..prima ho sbagliato a scrivere
Vedendo ciò sei sicuro che le condizioni non siano invece $(x,y)ne(0,0)$ e $(x,y)=(0,0)$?
quindi io pensavo di dover risolvere cosi: prendo la funzione f(x,y) per x≠0 ci sostituisco il punto (0,0) in cui mi chiede di studiarla e calcolo il resto dell'approssimazione lineare, a questo punto per vedere se è differenziabile calcolo il limite per (h,k)->0 del resto diviso sqrt(x^2+y^2) e se questo è zero allora vuol dire che è differenziabile?
comunque ho riguardato e le condizioni sono giuste ovvero f(x,y)=a tutta la funzione per x diverso da 0, mentre f(x,y)=0 per x=0
comunque ho riguardato e le condizioni sono giuste ovvero f(x,y)=a tutta la funzione per x diverso da 0, mentre f(x,y)=0 per x=0
Puoi calcolare le derivate parziali nell'origine usando la definizione (sono nulle).
Considera poi la funzione
\[
\phi(x,y) := \frac{f(x,y) - f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}, \qquad (x,y)\neq (0,0).
\]
Devi dimostrare che \(\lim_{(x,y)\to (0,0)} \phi(x,y) = 0\). Poiché \(\phi(0, y) = 0\) per ogni \(y\neq 0\), ti basterà stimare la funzione per \(x\neq 0\).
Tieni conto del fatto che, se \(|x| < 1\), allora \(x^4 < x^2\), quindi
\[
|\phi(x,y)| \leq \sqrt{x^2+y^2} \,|\log(x^2+y^2)|, \qquad 0<|x| < 1.
\]
Considera poi la funzione
\[
\phi(x,y) := \frac{f(x,y) - f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}, \qquad (x,y)\neq (0,0).
\]
Devi dimostrare che \(\lim_{(x,y)\to (0,0)} \phi(x,y) = 0\). Poiché \(\phi(0, y) = 0\) per ogni \(y\neq 0\), ti basterà stimare la funzione per \(x\neq 0\).
Tieni conto del fatto che, se \(|x| < 1\), allora \(x^4 < x^2\), quindi
\[
|\phi(x,y)| \leq \sqrt{x^2+y^2} \,|\log(x^2+y^2)|, \qquad 0<|x| < 1.
\]
grazie per i chiarimenti!:)
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