Esercizio sulla derivata esterna di una forma differenziale
Salve,per favore,qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo problema:
Un campo vettoriale $V$ su $R^n$ possiede una corrispondente 1-forma:
$ eta _V=v_1dx^1+v_2dx^2...+v_ndx^n $ dove $V={v_1,v_2,....,v_n}$
Localmente, $eta_V$ è il prodotto interno con V, e l'integrale di $ eta _V$ lungo un cammino è il lavoro meccanico compiuto "contro" $-V$ lungo il cammino.
Calcolare la derivata esterna di $eta_V$ per $n=3$ e per $n=4$
Un campo vettoriale $V$ su $R^n$ possiede una corrispondente 1-forma:
$ eta _V=v_1dx^1+v_2dx^2...+v_ndx^n $ dove $V={v_1,v_2,....,v_n}$
Localmente, $eta_V$ è il prodotto interno con V, e l'integrale di $ eta _V$ lungo un cammino è il lavoro meccanico compiuto "contro" $-V$ lungo il cammino.
Calcolare la derivata esterna di $eta_V$ per $n=3$ e per $n=4$
Risposte
Devi solo applicare la definizione. Data una forma differenziale $\omega = \sum_i f_i dx^i$ la sua derivata esterna è: $$d \omega = \sum_{i,j} \frac{\partial f_j}{\partial x^i} dx^i \wedge dx^j$$
Grazie,però poiche ho qualche dubbio su come fare potresti,per favore farmi vedere almeno,come si fa per n=3?
Ma non ho capito: i $v_i$ sono generici?
sì
Ok, faccio ad esempio il caso $n=3$. Applicando la definizione, ottieni: $$d\omega = \sum_{i,j=1}^3 \frac{\partial v_j}{\partial x^i} dx^i \wedge dx^j$$
Ora ricordiamo che il prodotto esterno è antisimmetrico e quindi: $dx^i \wedge dx^i =0$ e $dx^j \wedge dx^i = - dx^i \wedge dx^j$ (per $i \ne j$). Ne segue che:
$$\begin{equation} d \omega = \frac{\partial v_1}{\partial x^2} dx^2\wedge dx^1 + \frac{\partial v_1}{\partial x^3} dx^3 \wedge dx^1+ \frac{\partial v_2}{\partial x^1} dx^1 \wedge dx^2 + \frac{\partial v_2}{\partial x^3} dx^3 \wedge dx^2 + \\
\frac{\partial v_3}{\partial x^1} dx^1 \wedge dx^3 + \frac{\partial v_3}{\partial x^2} dx^2 \wedge dx^3 = \\
= \bigg(\frac{\partial v_2}{\partial x^1}-\frac{\partial v_1}{\partial x^2} \bigg) dx^1 \wedge dx^2 +
\bigg(\frac{\partial v_3}{\partial x^2}-\frac{\partial v_2}{\partial x^3} \bigg) dx^2 \wedge dx^3 +
\bigg(\frac{\partial v_3}{\partial x^1}-\frac{\partial v_1}{\partial x^3} \bigg) dx^1 \wedge dx^3\end{equation}$$
Ora ricordiamo che il prodotto esterno è antisimmetrico e quindi: $dx^i \wedge dx^i =0$ e $dx^j \wedge dx^i = - dx^i \wedge dx^j$ (per $i \ne j$). Ne segue che:
$$\begin{equation} d \omega = \frac{\partial v_1}{\partial x^2} dx^2\wedge dx^1 + \frac{\partial v_1}{\partial x^3} dx^3 \wedge dx^1+ \frac{\partial v_2}{\partial x^1} dx^1 \wedge dx^2 + \frac{\partial v_2}{\partial x^3} dx^3 \wedge dx^2 + \\
\frac{\partial v_3}{\partial x^1} dx^1 \wedge dx^3 + \frac{\partial v_3}{\partial x^2} dx^2 \wedge dx^3 = \\
= \bigg(\frac{\partial v_2}{\partial x^1}-\frac{\partial v_1}{\partial x^2} \bigg) dx^1 \wedge dx^2 +
\bigg(\frac{\partial v_3}{\partial x^2}-\frac{\partial v_2}{\partial x^3} \bigg) dx^2 \wedge dx^3 +
\bigg(\frac{\partial v_3}{\partial x^1}-\frac{\partial v_1}{\partial x^3} \bigg) dx^1 \wedge dx^3\end{equation}$$
Grazie,quindi nel caso n=4 sarebbe:
\[ d\omega = \sum_{i,j=1}^4 \frac{\partial v_j}{\partial x^i} dx^i \wedge dx^j \]
e quindi
$ ((partialv^2)/(partialx^1)-(partialv^1)/(partialx^2))dx^1^^dx^2+((partialv^3)/(partialx^2)-(partialv^2)/(partialx^3))dx^2^^dx^3+((partialv^4)/(partialx^3)-(partialv^3)/(partialx^4))dx^3^^dx^4+((partialv^3)/(partialx^1)-(partialv^1)/(partialx^3))dx^1^^dx^3+((partialv^4)/(partialx^1)-(partialv^1)/(partialx^4))dx^1^^dx^4+((partialv^4)/(partialx^2)-(partialv^2)/(partialx^4))dx^2^^dx^4 $
\[ d\omega = \sum_{i,j=1}^4 \frac{\partial v_j}{\partial x^i} dx^i \wedge dx^j \]
e quindi
$ ((partialv^2)/(partialx^1)-(partialv^1)/(partialx^2))dx^1^^dx^2+((partialv^3)/(partialx^2)-(partialv^2)/(partialx^3))dx^2^^dx^3+((partialv^4)/(partialx^3)-(partialv^3)/(partialx^4))dx^3^^dx^4+((partialv^3)/(partialx^1)-(partialv^1)/(partialx^3))dx^1^^dx^3+((partialv^4)/(partialx^1)-(partialv^1)/(partialx^4))dx^1^^dx^4+((partialv^4)/(partialx^2)-(partialv^2)/(partialx^4))dx^2^^dx^4 $
Giusto 
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