Esercizio sulla convergenza di una successione di funzioni

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Ho dei problemi con questo esercizio.

Per ogni n $ in $ N sia $ fn : ]0, + oo ] ----->R $ definita da


$ fn(x) = { ( (arctg e^-x)/(x-n)^2 ) ,( Pi /2 ):} $

dove il primo valore di fn è per $ x!= n $
mentre il secondo valore è per $ x = n $

Provare che fn converge uniformemente in ogni intervallo $ ] 0, a [ $ con $ a > 0 $ , ma non coverge
uniformemente in $ ] 0, +oo[ $.

Ho dei problemi nel calcolo del limite puntuale cioè nel calcolo di

$ lim_(n -> + oo) fn(x) $

Che distinguo devo fare? In alcuni appunti non miei ho trovato che il limite fa zero. Ma il limite è stato fatto
solo tenendo conto del caso x diverso da n. nell'altro caso? Non si deve tenere conto anche di quello?
E poi una volta trovato il limite puntuale, per calcolare quello uniforme devo valutare

sup | fn(x) - f(x) | ove f(x) è il limite puntuale. Come faccio a distinguere i due casi ?

[Whisky84]

forse sto per dire una castroneria, non sono super esperto, quindi nel caso qualcuno mi corregga

Per il limite puntuale secondo me non hai bisogno di considerare i casi $x=n$ e $x\ne n$.
La defizione di convergenza puntuale a $f(x)$ in un intervallo $I$ infatti è:

\(\displaystyle
\forall x\in I, \forall\varepsilon>0 \quad \exists n_0 \ | \ \forall n>n_0 \ \ \left|f_n(x) - f(x)\right| < \varepsilon
\)

che significa: «Fissando di volta in volta $x$ devi trovare un $n_0$ (che potrà essere differente per ogni $x$ quindi) sufficientemente grande tale per cui la disuguaglianza risulti fissata da quel $n_0$ in poi.»
Quindi, per ogni $x$, è sufficiente prendere un $n_0 > x$, e il problema non si pone.