Esercizio sulla continuità e derivabilità

[qwerty901]

$ f(x) =$
$ 1) log(x+1) {se x in [0,+infty) nn QQ} $
$ 2) x^3 + x^2 + x {se x in [0,+infty)- QQ} $

Scusate se scrivo così ma non sono capace a scriverlo in un unico sistema.

Andiamo alla domanda...
Per vedere dove la funzione è continua devo eguagliare le 2 funzioni e studiare il dominio dell'equazione risultante, esatto? Mi pare che il mio prof. mi abbia spiegato il motivo...parlava di successioni...ma non ho appuntato...

quindi

Le 2 funzioni sono continue nell'intervallo $[0,+infty)$

Le eguaglio e trovo: $log(x+1) = x^3 + x^2 + x $ quindi $ log(x+1) - x^3 - x^2 - x = 0$
la funzione è continua nell'intervallo $ [-1; + infty) $ per via del logaritmo.
Quindi in particolare la funzione è continua nell'intervallo $[0;+infty)$

Per la derivabiltà, l'unico dubbio mi viene per il punto $x=-1$ da destra e da sinistra.
facendo:
$lim_(x->-1^+) frac{f(x) - f(-1)}{x - (-1)} =lim_(x->-1^-) frac{f(x) - f(-1)}{x - (-1)} = +infty$
quindi non è derivabile, o sbaglio?


Mi dite se il mio ragionamento è sbagliato? Grazie

[misanino]

Non credo proprio che il tuo ragionamento regga (e sto parlando della continuità della funzione).
Prendiamo ad esempio $x=1$.
Allora $log(x+1)=log(1+1)=log(2)$
Se facciamo il limite per x che tende a 1 prendendo valori reali non razionali però, la funzione $x^3+x^2+x$ non tende a $log(2)$.
Come può quindi la tua $f(x)$ essere continua ad esempio in 1?

[qwerty901]

"misanino":Non credo proprio che il tuo ragionamento regga (e sto parlando della continuità della funzione).
Prendiamo ad esempio $x=1$.
Allora $log(x+1)=log(1+1)=log(2)$
Se facciamo il limite per x che tende a 1 prendendo valori reali non razionali però, la funzione $x^3+x^2+x$ non tende a $log(2)$.
Come può quindi la tua $f(x)$ essere continua ad esempio in 1?

mmm...e quindi cosa devo fare?

[misanino]

In generale devi controllare che i limiti destri e sinistri agli estremi degli intervalli in cui cambia l'espressione della tua funzione (riga1 o riga2 per intenderci) coincidano.
In questo caso però non hai intervalli perchè la funzione cambia in ogni punto.
Io non saprei darti in questo caso un procedimento per agire.
Anche se mi sembra di poter dire che l'unico punto di continuità è lo 0.

[qwerty901]

"misanino":In generale devi controllare che i limiti destri e sinistri agli estremi degli intervalli in cui cambia l'espressione della tua funzione (riga1 o riga2 per intenderci) coincidano.
In questo caso però non hai intervalli perchè la funzione cambia in ogni punto.
Io non saprei darti in questo caso un procedimento per agire.
Anche se mi sembra di poter dire che l'unico punto di continuità è lo 0.

Io sapevo che si eguagliavano le 2 equazioni per un teorema sulle successioni...forse per il teorema ponte.