Esercizio sul teorema di Fubini
Ho questo problema: una funzione $f:RR^2\toRR$ definita in questo modo. $f(x,y)=$
- $1$ se $x>=0$ e $x\le y
Far vedere che $\int_RR (\int_RR f(x,y) dx) dy \ne \int_RR(\int_RR f(x,y) dy) dx$ e dire il perché questo non contraddice il teorema di Fubini.
Allora, la mia strategia è stata la seguente.
La prima idea che mi è venuta è stata quella di vedere se ci fossero le condizioni per applicare il teorema di Fubini (l'esercizio stesso sta nel capitolo del teorema di Fubini): poi, però, ho letto quel "dire perché questo non contraddice il teorema di Fubini" mi ha fatto credere che invece dovessi calcolarli nel modo tradizionale.
Nel modo tradizionale però ho visto che ho $\alpha(x)\le y\le \beta (x)$ al dominio il che mi fa calcolare solo uno di quegli integrali perché nei vecchi (per me) tempi di analisi 2 per quanto riguarda gli integrali doppi si è fatto solo il caso con la $y$ compresa tra 2 $f(x)$ senza dirci nulla su come trasformarlo nel caso inverso (cioè passare da $y$ compresa tra funzioni di $x$ alla $x$ compresa tra funzioni di $y$) e quindi non ho trovato come passare da un modo all'altro del dominio (anche perché non lo so proprio perché non era argomento del corso...).
Ho provato a vedere se c'è un modo alternativo per far vedere che quegli integrali sono differenti, ma non l'ho trovato...
- $1$ se $x>=0$ e $x\le y
Far vedere che $\int_RR (\int_RR f(x,y) dx) dy \ne \int_RR(\int_RR f(x,y) dy) dx$ e dire il perché questo non contraddice il teorema di Fubini.
Allora, la mia strategia è stata la seguente.
La prima idea che mi è venuta è stata quella di vedere se ci fossero le condizioni per applicare il teorema di Fubini (l'esercizio stesso sta nel capitolo del teorema di Fubini): poi, però, ho letto quel "dire perché questo non contraddice il teorema di Fubini" mi ha fatto credere che invece dovessi calcolarli nel modo tradizionale.
Nel modo tradizionale però ho visto che ho $\alpha(x)\le y\le \beta (x)$ al dominio il che mi fa calcolare solo uno di quegli integrali perché nei vecchi (per me) tempi di analisi 2 per quanto riguarda gli integrali doppi si è fatto solo il caso con la $y$ compresa tra 2 $f(x)$ senza dirci nulla su come trasformarlo nel caso inverso (cioè passare da $y$ compresa tra funzioni di $x$ alla $x$ compresa tra funzioni di $y$) e quindi non ho trovato come passare da un modo all'altro del dominio (anche perché non lo so proprio perché non era argomento del corso...).
Ho provato a vedere se c'è un modo alternativo per far vedere che quegli integrali sono differenti, ma non l'ho trovato...
Risposte
Te ne stai andando nel pallone per niente (*). Disegna le regioni in cui quella funzione assume valori costanti. Poi procedi con le due integrazioni, che non richiederanno nessuna tecnica di calcolo ma solo una buona dose di ragionamento geometrico. Infine chiediti: ma perché se avessi applicato il teorema di Fubini avrei commesso un errore? Quale delle ipotesi non è verificata?
(*) Beh, proprio "niente" no. Diciamo "per poco".
(*) Beh, proprio "niente" no. Diciamo "per poco".
Ti ringrazio del suggerimento.
Purtroppo ho un impegno e non posso tornare al forum prima di lunedì: però farò tesoro di queste idee e le porterò in viaggio con me vedendo cosa riesco a calcolare.
Purtroppo ho un impegno e non posso tornare al forum prima di lunedì: però farò tesoro di queste idee e le porterò in viaggio con me vedendo cosa riesco a calcolare.
Ringrazio, innanzitutto, dissonance per il suggerimento. Riapro questo topic (sono tornato ora!) postando le mie conclusioni: lo faccio perché non vorrei rischiare di dire qualche assurdità matematica oltre che perché in analisi II gli integrali doppi sono stati praticamente un optional...
Ho esaminato la situazione (l'immagine occupa 8 KB ed ha una risoluzione di circa 300x250... è piccola e leggera dunque mi auguro di non rischiare il bann altrimenti porgo le mie scuse ed elimino il tutto... mi auguro di non aver fatto casini con i collegamenti e, soprattutto, che sia l'immagine giusta!):
La mia funzione, praticamente assume sempre valore nullo, tranne in quelle 2 "strisce" dove vale $1$ e $-1$: quindi posso intenderla come $\chi_{E1}$ nella prima striscia e $-\chi_{E2}$ nella seconda. Detta così, la $f$ è misurabile perché assume un numero finito di valori (in tutto 3: $0$,$1$ e $-1$)...
Io so (in teoria) che $f(x)=\chi_E$ è una funzione in $L^p(E)$ per qualsiasi $E$ che abbia misura finita: quindi, teoricamente parlando, siccome i due insiemi di valori dove la funzione assume valore non nullo "non sono finiti" allora la funzione non dovrebbe essere in $L^p$ e dunque questo viola l'ipotesi del teorema di Fubini che, per prima cosa dice "sia $f$ funzione misurabile in $L^1(E)$... ecc...".
Ora potrei dire qualcosa di molto sbagliato in quanto ne so molto poco di integrali doppi...
Comunque provo a ragionare geometricamente (seguendo il consiglio di dissonance): integrando in $x$ per qualsiasi $y$ fissato, l'integrale è nullo perché ad una zona dove $f=1$ ne corrisponde una identica dove $f=-1$. Quindi integrando il tutto per $y$ ho come risultato ancora zero.
Partendo ad integrare per $y$ invece, ho che per qualsiasi $x\ge 2$ l'integrale rispetto a $y$ è nullo, ma prima no perché non ho zone simmetriche dove la funzione vale $1$ e $-1$. Per esempio, se considero $x=1$ l'integrale rispetto a $y$ dovrebbe essere $\int_0^1 1dy = 1$... In generale, integrando il tutto rispetto a $x$ il risultato non è zero proprio per questo motivo (non chiedetemi quanto fa però perché non ne so quasi nulla di integrali doppi e si dovrebbe capire da come parlo).
Ringrazio chi voglia smentire le mie parole (in quanto ho paura di aver detto stupidaggini vista la mia ignoranza quasi totale negli integrali doppi...)...
Ho esaminato la situazione (l'immagine occupa 8 KB ed ha una risoluzione di circa 300x250... è piccola e leggera dunque mi auguro di non rischiare il bann altrimenti porgo le mie scuse ed elimino il tutto... mi auguro di non aver fatto casini con i collegamenti e, soprattutto, che sia l'immagine giusta!):
La mia funzione, praticamente assume sempre valore nullo, tranne in quelle 2 "strisce" dove vale $1$ e $-1$: quindi posso intenderla come $\chi_{E1}$ nella prima striscia e $-\chi_{E2}$ nella seconda. Detta così, la $f$ è misurabile perché assume un numero finito di valori (in tutto 3: $0$,$1$ e $-1$)...
Io so (in teoria) che $f(x)=\chi_E$ è una funzione in $L^p(E)$ per qualsiasi $E$ che abbia misura finita: quindi, teoricamente parlando, siccome i due insiemi di valori dove la funzione assume valore non nullo "non sono finiti" allora la funzione non dovrebbe essere in $L^p$ e dunque questo viola l'ipotesi del teorema di Fubini che, per prima cosa dice "sia $f$ funzione misurabile in $L^1(E)$... ecc...".
Ora potrei dire qualcosa di molto sbagliato in quanto ne so molto poco di integrali doppi...
Comunque provo a ragionare geometricamente (seguendo il consiglio di dissonance): integrando in $x$ per qualsiasi $y$ fissato, l'integrale è nullo perché ad una zona dove $f=1$ ne corrisponde una identica dove $f=-1$. Quindi integrando il tutto per $y$ ho come risultato ancora zero.
Partendo ad integrare per $y$ invece, ho che per qualsiasi $x\ge 2$ l'integrale rispetto a $y$ è nullo, ma prima no perché non ho zone simmetriche dove la funzione vale $1$ e $-1$. Per esempio, se considero $x=1$ l'integrale rispetto a $y$ dovrebbe essere $\int_0^1 1dy = 1$... In generale, integrando il tutto rispetto a $x$ il risultato non è zero proprio per questo motivo (non chiedetemi quanto fa però perché non ne so quasi nulla di integrali doppi e si dovrebbe capire da come parlo).
Ringrazio chi voglia smentire le mie parole (in quanto ho paura di aver detto stupidaggini vista la mia ignoranza quasi totale negli integrali doppi...)...
Sì, hai capito l'idea di fondo. Uno dei due integrali è nullo, l'altro no, e il motivo per cui succede questo è che la funzione $f(x, y)$ non è sommabile in entrambe le variabili, ma solo nelle due variabili singolarmente. Anche la dimostrazione è grossomodo quella: ma controlla il disegno, mi sa che è sbagliato. Guarda le rette $y=x, y=x+1, y=x+2$: [asvg]xmin=0; xmax=5; ymin=0; ymax=5; axes(); plot("x"); plot("x+1"); plot("x+2");[/asvg]
"dissonance":
Guarda le rette $y=x, y=x+1, y=x+2$
Incredibile, non me ne ero neanche accorto che ho disegnato una cosa per un altra...!
Invece di quella del testo avevo considerato $f(x,y)=$
- $1$ se $x\ge 0$ e $x\le y
- $0$ altrimenti
Un banale errore di distrazione: il grafico giusto è il tuo...
Ci tengo a puntualizzare che il testo dell'es è quello che ho scritto all'inizio, non quello che ho disegnato (e che è quello che ho scritto ora): semplice distrazione...
Ho scritto una cosa e ne ho disegnata un'altra...
Comunque il grafico è molto simile, però allora il ragionamento viene opposto (cioè quello che ho detto per la $y$ vale per la $x$ e viceversa...) anche se alla fine le conclusioni sono le stesse...
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