Esercizio sul teorema di Dini e ricerca di un punto stazionario.
Ciao a tutti 
sono alle prime armi con gli esercizi sul teorema di Dini, e svolgendone uno mi sono saltati fuori dei dubbi.
Per cominciare vi riporto il testo dell'esercizio, e successivamente vi esporrò quali sono i miei dubbi.
Sia dato il luogo di zeri
$ ln (1+z) + arctan (x^2-2y^2) + sin (x^2 - y^2 +z) = 0 $
Veri care che, in un intorno dell'origine, è possibile esplicitare una variabile in funzione delle
restanti due. Per la funzione così ottenuta, veri care che nell'origine vi e un punto stazionario
e stabilirne la natura.
Bene, innanzitutto prendo le mie funzioni e verifico se essa rispettano le ipotesi del teorema di Dini:
IPOTESI 1: sostituisco (0,0,0) alle mie funzioni per verificare l'identità. L'ipotesi è verificata in quanto ottengo 0+0+0=0;
IPOTESI 2: le funzioni appartengono all'insieme delle funzioni continue e derivabili infinite volte in un intorno dell'origine. Ipotesi soddisfatta;
IPOTESI 3: devo verificare che la somma delle derivate delle funzioni rispetto alla variabile che voglio esplicitare nell'origine sia diversa da zero. Ecco il primo dubbio: la derivata rispetto a quale variabile devo eseguirla? posso sceglierla io?
Il risultato che dovrei ottenere è ad esmpio $ x=x(y,z) $ ?
Dopo ciò, usando gli sviluppi di Taylor, fino a che ordine dovrei sviluppare per verificare che nell'origine c'è un punto stazionario?
Ho anche altri dubbi, ma preferirei chiarire prima questi per poter procedere passo passo.
Grazie a tutti in anticipo
sono alle prime armi con gli esercizi sul teorema di Dini, e svolgendone uno mi sono saltati fuori dei dubbi.
Per cominciare vi riporto il testo dell'esercizio, e successivamente vi esporrò quali sono i miei dubbi.
Sia dato il luogo di zeri
$ ln (1+z) + arctan (x^2-2y^2) + sin (x^2 - y^2 +z) = 0 $
Veri care che, in un intorno dell'origine, è possibile esplicitare una variabile in funzione delle
restanti due. Per la funzione così ottenuta, veri care che nell'origine vi e un punto stazionario
e stabilirne la natura.
Bene, innanzitutto prendo le mie funzioni e verifico se essa rispettano le ipotesi del teorema di Dini:
IPOTESI 1: sostituisco (0,0,0) alle mie funzioni per verificare l'identità. L'ipotesi è verificata in quanto ottengo 0+0+0=0;
IPOTESI 2: le funzioni appartengono all'insieme delle funzioni continue e derivabili infinite volte in un intorno dell'origine. Ipotesi soddisfatta;
IPOTESI 3: devo verificare che la somma delle derivate delle funzioni rispetto alla variabile che voglio esplicitare nell'origine sia diversa da zero. Ecco il primo dubbio: la derivata rispetto a quale variabile devo eseguirla? posso sceglierla io?
Il risultato che dovrei ottenere è ad esmpio $ x=x(y,z) $ ?
Dopo ciò, usando gli sviluppi di Taylor, fino a che ordine dovrei sviluppare per verificare che nell'origine c'è un punto stazionario?
Ho anche altri dubbi, ma preferirei chiarire prima questi per poter procedere passo passo.
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Il procedimento pratico è di calcolare prima di tutto le derivate parziali.
$f_x=2x[1/(1+(x^2-2y^2)^2)+\cos(x^2-y^2+z)]$
$f_y=-2y[2/(1+(x^2-2y^2)^2)+\cos(x^2-y^2+z)]$
$f_z=1/(1+z)+\cos(x^2-y^2+z)$
a questo punto andiamo a sostituire le coordinate dell'origine e vediamo cosa fanno le derivate parziali
$f_x=0$
$f_y=0$
$f_z=1$
Quindi il vettore normale alla superficie è diretto verso "l'alto" nel senso dell'asse z.
Quindi la superficie, in un intorno dell'origine si presenta ortogonale all'asse z e quindi si può teoricamente esprimere come $z=f(x,y)$. Chiaramente questa funzione non è "scrivibile", non si può esplicitare, ma si sa che in teoria potrebbe essere scritta così.
Quindi bisogna determinare la natura del punto stazionario.
Osservando la $f_x$ e la $f_y$ si nota che dentro alle parentesi quadre ci sono dei termini positivi (in un piccolo intorno dello zero almeno).
Quindi le derivate si comportano circa come $f_x=2x$ e la $f_y=-2y$ determinando un punto di sella.
$f_x=2x[1/(1+(x^2-2y^2)^2)+\cos(x^2-y^2+z)]$
$f_y=-2y[2/(1+(x^2-2y^2)^2)+\cos(x^2-y^2+z)]$
$f_z=1/(1+z)+\cos(x^2-y^2+z)$
a questo punto andiamo a sostituire le coordinate dell'origine e vediamo cosa fanno le derivate parziali
$f_x=0$
$f_y=0$
$f_z=1$
Quindi il vettore normale alla superficie è diretto verso "l'alto" nel senso dell'asse z.
Quindi la superficie, in un intorno dell'origine si presenta ortogonale all'asse z e quindi si può teoricamente esprimere come $z=f(x,y)$. Chiaramente questa funzione non è "scrivibile", non si può esplicitare, ma si sa che in teoria potrebbe essere scritta così.
Quindi bisogna determinare la natura del punto stazionario.
Osservando la $f_x$ e la $f_y$ si nota che dentro alle parentesi quadre ci sono dei termini positivi (in un piccolo intorno dello zero almeno).
Quindi le derivate si comportano circa come $f_x=2x$ e la $f_y=-2y$ determinando un punto di sella.
Ti ringrazio per avermi risposto
Non ho capito come hai fatto a determinare che si tratta di un punto di sella. Se i termini dentro le parentesi quadre sono positivi i segni delle derivate parziali dipendono solamente dal valore di x e y giusto? e quindi in base a cosa hai concluso che si tratta di un punto di sella?
Non ho capito come hai fatto a determinare che si tratta di un punto di sella. Se i termini dentro le parentesi quadre sono positivi i segni delle derivate parziali dipendono solamente dal valore di x e y giusto? e quindi in base a cosa hai concluso che si tratta di un punto di sella?
Ad esempio la classica funzione che ha una sella nell'origine è:
$z=x^2-y^2$
prova fare le derivate prime...
$z=x^2-y^2$
prova fare le derivate prime...
Ok, faccio le derivate prime rispetto alla x ed alla y
$ f_{x} = 2x $
$ f_{y} = -2y $
Poi faccio l'Hessiano, quest'ultimo è minore di zero e quindi si tratta di un punto di sella. E'questo il ragionamento che devo fare? Perchè hai scelto proprio le dure derivate parziali rispetto ad x ed ad y e non rispetto a z?
Inoltre, tutto ciò cosa c'entra col teorema di Dini?
Non c'è un modo che mi permette di stabilire la natura del punto tramite gli sviluppi di Taylor?
Grazie
$ f_{x} = 2x $
$ f_{y} = -2y $
Poi faccio l'Hessiano, quest'ultimo è minore di zero e quindi si tratta di un punto di sella. E'questo il ragionamento che devo fare? Perchè hai scelto proprio le dure derivate parziali rispetto ad x ed ad y e non rispetto a z?
Inoltre, tutto ciò cosa c'entra col teorema di Dini?
Non c'è un modo che mi permette di stabilire la natura del punto tramite gli sviluppi di Taylor?
Grazie
Sono ancora bloccato su questo stramaledetto esercizio 
Nessuno riesce ad aiutarmi?
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