Esercizio sul teorema delle funzioni implicite
l'esercizio è il seguente:
(a) Dimostrare che $\exists! \ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} | f(x)+x^2e^(f(x))-x^2-e^(x^4)=0 \ \forall x\in\mathbb{R}$ e che questa funzione è di classe $C^(\infty)$.
(b) Calcolare la parte principale di $f(x)$ per $x\to+\infty$
Per il punto (a) non ho avuto problemi, ponendo $f(x)=y$ l'equazione diventa: $\phi(x,y)=y+x^2e^y-x^2-e^(x^4)=0$.
Ora si nota che $\phi(0,1)=0$ ed inoltre $\phi_y (0,1)\ne 0$ per cui è possibile esplicitare la y in funzione della x, trovando una funzione $f:[-\delta,\delta]\to[1-\sigma,1+\sigma]$.
Per vedere che in realtà $f(x)$ è da R in R, posto $V={x\in\mathbb{R}|\phi(x,f(x))=0}$ si ha che V è un grafico globale, cioè
-V è illimitato: questo perchè $mbox{liminf }\phi=-\infty$ e $\mbox{limsup }\phi=+\infty$
-Ad x fisso, la funzione $\phi$ passa da -infinito a +infinito e $\phi_y$ è strettamente crescente
-la funzione f è unica per il teorema della funzione implicita ed è di classe C infinito poichè lo è la funzione phi.
Il problema sorge nel punto (b), poichè non ho idee su come procedere
(a) Dimostrare che $\exists! \ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} | f(x)+x^2e^(f(x))-x^2-e^(x^4)=0 \ \forall x\in\mathbb{R}$ e che questa funzione è di classe $C^(\infty)$.
(b) Calcolare la parte principale di $f(x)$ per $x\to+\infty$
Per il punto (a) non ho avuto problemi, ponendo $f(x)=y$ l'equazione diventa: $\phi(x,y)=y+x^2e^y-x^2-e^(x^4)=0$.
Ora si nota che $\phi(0,1)=0$ ed inoltre $\phi_y (0,1)\ne 0$ per cui è possibile esplicitare la y in funzione della x, trovando una funzione $f:[-\delta,\delta]\to[1-\sigma,1+\sigma]$.
Per vedere che in realtà $f(x)$ è da R in R, posto $V={x\in\mathbb{R}|\phi(x,f(x))=0}$ si ha che V è un grafico globale, cioè
-V è illimitato: questo perchè $mbox{liminf }\phi=-\infty$ e $\mbox{limsup }\phi=+\infty$
-Ad x fisso, la funzione $\phi$ passa da -infinito a +infinito e $\phi_y$ è strettamente crescente
-la funzione f è unica per il teorema della funzione implicita ed è di classe C infinito poichè lo è la funzione phi.
Il problema sorge nel punto (b), poichè non ho idee su come procedere
Risposte
Ciao Lebesgue! Ho già proposto io questo esercizio e ne abbiamo discusso qui https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=189204
Dell'ultimo punto mi sono fatto un'idea brutale, ma ancora non trovo il modo e il tempo di sistemarla per bene
Dell'ultimo punto mi sono fatto un'idea brutale, ma ancora non trovo il modo e il tempo di sistemarla per bene
Più semplicemente, invece di usare il Teorema del Dini, osserva che per ogni $x in RR$ la funzione $y\mapsto y+x^2 e^y$ è strettamente crescente, continua ed ha come immagine tutto $RR$; dunque esiste un unico punto $y=y_x in RR$ tale che $y+x^2e^y = x^2+e^(x^4)$ e puoi definire la funzione $f:RR -> RR$ ponendo $f(x):=y_x$.
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