Esercizio sul Teorema della media integrale
Ciao a tutti, mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Le risposte possibili suggerite sono le seguenti:
Sapendo che nel Teorema della media integrale è necessaria l'ipotesi di continuità, poiché la funzione è chiaramente discontinua nel valore di scissione delle leggi, io ho risposto (a). Tuttavia, le soluzioni suggeriscono (e).
Qualcuno riesce ad aiutarmi?
Grazie mille!
[math]\text{Calcolare nell'intervallo } [5 ; 9] \text{ il valor medio della funzione}[/math]
[math]\begin{equation*} f(x) = \left\{ \begin{array}{@{}rl} 2x-5 & \text{se } x \leq 7\\ 4 & \text{se } x > 7 \end{array} \right.\end{equation*}[/math]
Le risposte possibili suggerite sono le seguenti:
[math]\text{(a) il valor medio non esiste perché } f \text{ non è continua in } x=7[/math]
[math]\text{(b) }11[/math]
[math]\text{(c) nessuna delle altre risposte è corretta}[/math]
[math]\text{(d) }22[/math]
[math]\text{(e) }\frac{11}{2}[/math]
Sapendo che nel Teorema della media integrale è necessaria l'ipotesi di continuità, poiché la funzione è chiaramente discontinua nel valore di scissione delle leggi, io ho risposto (a). Tuttavia, le soluzioni suggeriscono (e).
Qualcuno riesce ad aiutarmi?
Grazie mille!
Risposte
Bisogna distinguere tra Media Integrale e Teorema della Media Integrale.
La Media Integrale è una definizione che estende il concetto di media ad intervalli di numeri reali, rispetto all'usuale media definita per valori discreti.
La richiesta è che la funzione f(x), definita su un certo intervallo [a,b], sia integrabile sullo stesso.
Il Teorema della Media Integrale invece stabilisce che la Media Integrale può sempre essere ottenuta come prodotto f(x0)*(b-a) ove x0 è un opportuno punto contenuto in [a,b]. In questo caso il Teorema per essere valido richiede che f(x) sia continua. Questo non significa che l'uguaglianza non possa essere vera in qualche caso anche per funzioni discontinue, ma semplicemente non è detto a priori e comunque non sempre.
Nel caso in oggetto ti è richiesta solo la media che è facilmente calcolabile spezzando in due integrali tra gli intervalli [5,7] e (7,9] e il cui risultato è effettivamente 11/2.
La Media Integrale è una definizione che estende il concetto di media ad intervalli di numeri reali, rispetto all'usuale media definita per valori discreti.
La richiesta è che la funzione f(x), definita su un certo intervallo [a,b], sia integrabile sullo stesso.
Il Teorema della Media Integrale invece stabilisce che la Media Integrale può sempre essere ottenuta come prodotto f(x0)*(b-a) ove x0 è un opportuno punto contenuto in [a,b]. In questo caso il Teorema per essere valido richiede che f(x) sia continua. Questo non significa che l'uguaglianza non possa essere vera in qualche caso anche per funzioni discontinue, ma semplicemente non è detto a priori e comunque non sempre.
Nel caso in oggetto ti è richiesta solo la media che è facilmente calcolabile spezzando in due integrali tra gli intervalli [5,7] e (7,9] e il cui risultato è effettivamente 11/2.
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