Esercizio sul teorema della divergenza
Salve, avrei un problema con questo esercizio :
Siano dati il campo vettoriale \(\displaystyle F(x,y,z)=(0,0,z) \) e il dominio \(\displaystyle D=\{ (x,y,z)\in R : (x-1)^2+(y-1)^2\leq 1, 0\leq z\leq y+2 \} \). Verificare il teorema della divergenza.
Il mio dubbio riguarda le coordinate da utilizzare. Se svolgo i quadrati dentro il dominio mi esce fuori una circonferenza di centro (1,1) e di raggio 2. Quindi passando alle coordinate cilindriche :
\(\displaystyle \begin {cases} x=2cos(\Theta ) \\ y=2sen(\Theta ) \\ z=z \end {cases} \)
\(\displaystyle \begin {cases} 0\leq \Theta \leq 2\pi \\ 0\leq z \leq 2sen(t)+2 \end {cases} \)
Giusto ?
Siano dati il campo vettoriale \(\displaystyle F(x,y,z)=(0,0,z) \) e il dominio \(\displaystyle D=\{ (x,y,z)\in R : (x-1)^2+(y-1)^2\leq 1, 0\leq z\leq y+2 \} \). Verificare il teorema della divergenza.
Il mio dubbio riguarda le coordinate da utilizzare. Se svolgo i quadrati dentro il dominio mi esce fuori una circonferenza di centro (1,1) e di raggio 2. Quindi passando alle coordinate cilindriche :
\(\displaystyle \begin {cases} x=2cos(\Theta ) \\ y=2sen(\Theta ) \\ z=z \end {cases} \)
\(\displaystyle \begin {cases} 0\leq \Theta \leq 2\pi \\ 0\leq z \leq 2sen(t)+2 \end {cases} \)
Giusto ?
Risposte
Occhio che il raggio della circonferenza di base del cilindro è $1$, non $2$; quindi le coordinate cilindriche vanno riviste di conseguenza.
Non ho ben capito cosa significhi nel testo dell'esercizio "verificare il teorema della divergenza"
applicarlo per calcolare il flusso di $F$ attraverso $D$ forse?
Non ho ben capito cosa significhi nel testo dell'esercizio "verificare il teorema della divergenza"
applicarlo per calcolare il flusso di $F$ attraverso $D$ forse?
Si scusami, grazie di avermelo fatto notare. Per applicare il teorema della divergenza si intende, come hai detto tu, di calcolare il flusso. Comunque ho corretto :
\(\displaystyle \begin {cases} x=cos(\Theta ) \\ y=sen(\Theta ) \\ z=z \end {cases} \)
\(\displaystyle \begin {cases} 0\leq \Theta \leq 2\pi \\ 0\leq z\leq sen(\Theta )+2 \end {cases} \)
Ma ora cosa dovrei fare ? Dovrei risolvere il seguente integrale ? :
\(\displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^{sen(\Theta )+2} z (cos(\Theta ), sen(\Theta ), 0) dzd\Theta \)
\(\displaystyle \begin {cases} x=cos(\Theta ) \\ y=sen(\Theta ) \\ z=z \end {cases} \)
\(\displaystyle \begin {cases} 0\leq \Theta \leq 2\pi \\ 0\leq z\leq sen(\Theta )+2 \end {cases} \)
Ma ora cosa dovrei fare ? Dovrei risolvere il seguente integrale ? :
\(\displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^{sen(\Theta )+2} z (cos(\Theta ), sen(\Theta ), 0) dzd\Theta \)
Prego!
No: il teorema della divergenza ti dice che, sotto opportune ipotesi, il che flusso di un campo $F$ attraverso una superficie chiusa di cui $D$ è la frontiera è uguale all'integrale triplo su $D$ della divergenza di $F$, ossia devi calcolare
$$\iiint_D \text{d}x\text{d}y\text{d}z$$
In quanto $\text{div} \left(F(x,y,z)\right)=1$.
Ora puoi passare in cilindriche come hai fatto per risolvere quell'integrale triplo.
No: il teorema della divergenza ti dice che, sotto opportune ipotesi, il che flusso di un campo $F$ attraverso una superficie chiusa di cui $D$ è la frontiera è uguale all'integrale triplo su $D$ della divergenza di $F$, ossia devi calcolare
$$\iiint_D \text{d}x\text{d}y\text{d}z$$
In quanto $\text{div} \left(F(x,y,z)\right)=1$.
Ora puoi passare in cilindriche come hai fatto per risolvere quell'integrale triplo.
A quale integrale triplo ti riferisci ?
Comunque nelle coordinate cilindriche che ho io \(\displaystyle \rho =2 \), quindi quando vado a fare l'integrale, in coordinate polari, gli estremi di integrazione di \(\displaystyle \rho \) non ci sono. Dunque il tutto si riduce a :
\(\displaystyle \int_0^{2\pi } \int_0^{sen(\Theta )+2} dzd\Theta \)
Comunque nelle coordinate cilindriche che ho io \(\displaystyle \rho =2 \), quindi quando vado a fare l'integrale, in coordinate polari, gli estremi di integrazione di \(\displaystyle \rho \) non ci sono. Dunque il tutto si riduce a :
\(\displaystyle \int_0^{2\pi } \int_0^{sen(\Theta )+2} dzd\Theta \)
Il flusso è un integrale doppio, ma se usi il teorema della divergenza devi fare un integrale triplo; se non ti è chiaro, prova a rileggere l'enunciato del teorema della divergenza.
Quindi, se usi il teorema della divergenza, stai integrando su un volume, perciò in tal caso il raggio non è più fisso: quindi le cilindriche diventano $x=\rho cos \theta$, $y=\rho sin \theta$ e $z=z$.
Quindi, se usi il teorema della divergenza, stai integrando su un volume, perciò in tal caso il raggio non è più fisso: quindi le cilindriche diventano $x=\rho cos \theta$, $y=\rho sin \theta$ e $z=z$.
Quindi utilizzando il teorema della divergenza e le coordinate cilindriche dovrebbe essere :
\(\displaystyle \begin {cases} x=\rho cos(\Theta ) \\ y=\rho sen(\Theta ) \\ z=z \end {cases} \)
\(\displaystyle \begin {cases} 0\leq \Theta \leq 2\pi \\ 0\leq \rho \leq 1 \\ 0\leq z \leq \rho sen(\Theta )+2 \end {cases} \)
\(\displaystyle \begin {cases} x=\rho cos(\Theta ) \\ y=\rho sen(\Theta ) \\ z=z \end {cases} \)
\(\displaystyle \begin {cases} 0\leq \Theta \leq 2\pi \\ 0\leq \rho \leq 1 \\ 0\leq z \leq \rho sen(\Theta )+2 \end {cases} \)
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