Esercizio sul teorema della convergenza dominata
Eccomi di nuovo qui a chiedervi aiuto:
siano $f_n, n in NN$, funzioni sommabili in $X$ e convergenti q.o. a $f$ in $X$. Supponiamo inoltre che esista $g$ sommabile in $X$ e verificante: $|f_n(x)|<=g(x)$, per q.o. $x in X, AA n in NN$.
in queste ipotesi, $f$ è sommabile in $X$ ed è lecito il passaggio al limite sotto il segno di integrale.
Premesso ciò, non riesco a svolgere questo esercizio:
Verificare che: $lim_n \int_0^{+\infty}(1/(1+x^n))dx=1$
Applicando il teorema fila tutto liscio, passo il limite dentro all'integrale, e ottengo che vale 1, però non riesco a trovare la funzione $g$ che verifica le ipotesi del teorema, o meglio, una l'ho trovata, ma non verifica le ipotesi per $n=1$, ed è così definita: $g(x)={(1/x^2,if x>1),(1,if 0<=x<=1):}
infatti per $0<=x<=1 rArr 1/(1+x^n)<=g(x)$, mentre per $x>1$ $1/(1+x^n)<1/x^n
Inoltre per $n=1$ $1/(1+x)$ non è neanche sommabile in $[0,+\infty]$.. che fare?? come si applica allora il teorema?
siano $f_n, n in NN$, funzioni sommabili in $X$ e convergenti q.o. a $f$ in $X$. Supponiamo inoltre che esista $g$ sommabile in $X$ e verificante: $|f_n(x)|<=g(x)$, per q.o. $x in X, AA n in NN$.
in queste ipotesi, $f$ è sommabile in $X$ ed è lecito il passaggio al limite sotto il segno di integrale.
Premesso ciò, non riesco a svolgere questo esercizio:
Verificare che: $lim_n \int_0^{+\infty}(1/(1+x^n))dx=1$
Applicando il teorema fila tutto liscio, passo il limite dentro all'integrale, e ottengo che vale 1, però non riesco a trovare la funzione $g$ che verifica le ipotesi del teorema, o meglio, una l'ho trovata, ma non verifica le ipotesi per $n=1$, ed è così definita: $g(x)={(1/x^2,if x>1),(1,if 0<=x<=1):}
infatti per $0<=x<=1 rArr 1/(1+x^n)<=g(x)$, mentre per $x>1$ $1/(1+x^n)<1/x^n
Inoltre per $n=1$ $1/(1+x)$ non è neanche sommabile in $[0,+\infty]$.. che fare?? come si applica allora il teorema?
Risposte
Ma non fa niente se la convergenza non è dominata solo per un numero finito di indici. Scartali. Fai così: sia $a_n=int_0^infty1/(1+x^n)"d"x$. Sia poi $b_n={(0, n=1), (a_n, n>1):}$; questa successione verifica il teorema di convergenza dominata e quindi $b_n\to1$. Ed è un fatto di analisi 1 che due successioni che differiscono solo per un numero finito di indici hanno lo stesso carattere e (se convergenti) lo stesso limite. Quindi $a_n\to1$.
non ci avevo pensato, grazie!
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