Esercizio sul Teorema del grafico chiuso

[lucillina1]

Mi sembrava un esercizio stupido e invece mi sta mettendo in crisi

Sia $X$ lo spazio delle funzioni $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ continue, derivabili e con derivata continua. Dotiamo lo spazio della norma del sup su [0,1]. Sia $Y$ lo spazio delle funzioni $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ continue con norma del sup. Sia $D: X \rightarrow Y$ l'operatore di derivata: $ Df=f'$. Mostrare che:
1. D è un operatore illimitato.
2. D ha il grafico chiuso.
3. perchè ciò non contraddice il teorema del grafico chiuso?

Ora, a me D sembra un operatore limitato da X in Y. Infatti, la derivata di un elemento di X è una funzione continua, dunque per Weierstrass ammette sup finito in [0,1]. Inoltre, il suo grafico è chiuso (basta pensare al teorema di scambio di limite con derivata). quindi il teorema del grafico chiuso torna.

[gugo82]

L'operatore \(D\) non può essere limitato.

Basta pensare a cosa succede alla successione di funzioni:
\[
f_n(x):= \begin{cases}
\frac{\sqrt{n}}{2} x+ \frac{1}{2\sqrt{n}} & \text{, se } 0\leq x < 1/n \\
\sqrt{x} & \text{, se } 1/n\leq x \leq 1\; ,
\end{cases}
\]
la quale approssima uniformemente in \(C^1([0,1])\) la funzione \(f(x)=\sqrt{x}\) (cfr. figura seguente), quando \(n\) cresce.
[asvg]xmin=0; xmax=1;ymin=0;ymax=1;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; strokewidth=0.5;
plot("sqrt(x)",0,0.0625);
strokewidth=2;
plot("sqrt(x)",0.0625, 1);
stroke="red";
plot("x+0.25",0,0.25); dot([0.25,0.5]);
stroke="orange";
plot("sqrt(2)*x + 1/(4*sqrt(2))",0,0.125); dot([0.125,0.353]);
stroke="yellow";
plot("2*x+0.125", 0,0.0625); dot([0.0625, 0.25]);[/asvg]
Invero si ha:
\[
\| f_n\|_\infty =f_n(1)=1
\]
(perché le \(f_n\) sono positive e strettamente crescenti); ma d'altra parte:
\[
f_n^\prime (x) := \begin{cases}
\frac{\sqrt{n}}{2} &\text{, se } 0\leq x<1/n\\
\frac{1}{2\sqrt{x}} &\text{, se } 1/n\leq x\leq 1
\end{cases}
\]
sicché
\[
\| Df_n\|_\infty = f_n^\prime (0)=\frac{\sqrt{n}}{2}
\]
(perché le \(f_n^\prime\) sono decrescenti) e conseguentemente:
\[
\| D\| := \sup_{\| f\|_\infty \neq 0} \frac{\| Df\|_\infty}{\| f\|_\infty } \geq \sup_{n\in \mathbb{N}} \| Df_n\|_\infty = +\infty
\]
per cui \(D\) non è affatto limitato.

[lucillina1]

Giustissimo, stamattina avevo letto in maniera molto superficiale l'esercizio! Cosa da non fare!
Infatti X non è uno spazio di Banach, quindi l'ultimo punto dell'esercizio!

Grazie!