Esercizio sul Teorema del Dini

[Lelouko]

Sia dato il campo vettoriale $F(x,y)=xy^4+2y+ysin(x)+2(e^x-x-1)$ e si consideri l'insieme di livello ${(x,y) in RR :F(x,y)=0}$
Provare che in un intorno del punto $(0,0)$, detto insieme può essere rappresentato come grafico di una funzione $y=f(x)$
Allora di questo esercizio ho pensato per trovare questa funzione y dovessi usare il teorema del Dini, allora ho usato questa formula $(x-x0)fx(y-y0)+(y-y0)fy(x0,y0)=0$ trovo che $fx(0,0)=0$ e $fy(0,0)=1$ e quindi seguendo quella mia formula, trovo questa funzione $y=0$
Giusto cosi? Oppure ho sbagliato qualcosa?

[dissonance]

Intanto quello è un campo scalare e non vettoriale. E poi mi pare tu abbia le idee piuttosto confuse, purtroppo. Prima di tutto devi verificare che \((0,0)\) appartiene al tuo insieme. Lo hai fatto? Fatto questo, calcolando le derivate in \((0,0)\) come hai fatto puoi verificare se il teorema del Dini è applicabile. La formula che hai riportato non si capisce cosa sia e cosa c'entri qui.

[Lelouko]

Allora l’insieme di definzione di F è tutto $R^2$ e quindi anche il punto $(0,0)$ appartiene all’insieme di definizione.
Poi il teorema del Dini mi dice che se $F(x0,y0)=0$ e $Fy(0,0)!=0$, dove in questo caso x0 =0 e y0=0, allora esiste una funzione
$y=f(x)$ nell’intorno di quel punto, o sbaglio?
E questa funzione $y=f(x)$ è una funzione che è tangente al campo scalare F ed passa per l’intorno del punto $(0,0)$, la formula che ho messo serve appunto per trovare questa funzione, ma mi sa che ho sbagliato :/

[dissonance]

Ma no, è sostanzialmente corretto, è solo scritto un po' male.

[donald_zeka]

la formula che ho messo serve appunto per trovare questa funzione, ma mi sa che ho sbagliato :/

Eh si, quella è l'equazione della retta tangente alla curva F(x,y)=0 nel punto (x0,y0)...mica il teorema di Dini ci permette di esplicitare qualsiasi funzione implicita...

[Lelouko]

ok, grazie mille a tutti e due