Esercizio sul teo. della funzione implicita
Buon giorno!
Vorrei sottoporre un esercizio molto interessante che ho svolto.
$text{Si consideri l'uguaglianza} (1-x^2)y+e^2y^3+cos(x+y)=0$ $text{quale delle seguenti affermazioni èsono corretta/e?} $
$text{Definisce implicitamente un'unica funzione} y=\varphi(x)$ $text{definita su tutto}$ $RR$
$text{Il teorema della funzione implicita assicura l'esistenza è l'unicità di}$ $ y=\varphi(x)$ $text{in un intorno di (0,0)}$
La seconda possibilità è sicuramente sbagliata perchè in $text{(0,0)}$ l'uguaglianza è $!=0$
Purtroppo non so come comportarmi per la prima possibilità poichè non mi viene dato alcun punto.
Che ne dite?
Vorrei sottoporre un esercizio molto interessante che ho svolto.
$text{Si consideri l'uguaglianza} (1-x^2)y+e^2y^3+cos(x+y)=0$ $text{quale delle seguenti affermazioni èsono corretta/e?} $
$text{Definisce implicitamente un'unica funzione} y=\varphi(x)$ $text{definita su tutto}$ $RR$
$text{Il teorema della funzione implicita assicura l'esistenza è l'unicità di}$ $ y=\varphi(x)$ $text{in un intorno di (0,0)}$
La seconda possibilità è sicuramente sbagliata perchè in $text{(0,0)}$ l'uguaglianza è $!=0$
Purtroppo non so come comportarmi per la prima possibilità poichè non mi viene dato alcun punto.
Che ne dite?
Risposte
Scusa, non vorrei sbagliarmi ma per quanto mi ricordo io il teorema di Dini assicura l'esistenza di una soluzione massimale se,in questo caso, la seconda componente del gradiente è diversa da zero.
Definita quindi $f:RR^2->R,(x,y)-> (1-x^2)y+e^2y^3+cos(x+y)$
$grad f (x,y)=(- sin(x + y) - 2xy,- sin(x + y) - x^2 + 3*e^2*y^2 + 1)$
$grad f (0,0)=(0,1)$
$(partialf)/(partialy)(0,0)=1!=0$ quindi per il teorema di Dini esiste soluzione massimale nell'intorno di $(0,0)$.
Definita quindi $f:RR^2->R,(x,y)-> (1-x^2)y+e^2y^3+cos(x+y)$
$grad f (x,y)=(- sin(x + y) - 2xy,- sin(x + y) - x^2 + 3*e^2*y^2 + 1)$
$grad f (0,0)=(0,1)$
$(partialf)/(partialy)(0,0)=1!=0$ quindi per il teorema di Dini esiste soluzione massimale nell'intorno di $(0,0)$.
Ti confondi, il teorema di Dini chiede che $(delF(0,0))/(dely)$ $=0$ mentre $F(0,0)=0$
E poi il teo di Dini è applicabile soltanto nel caso di Lineare $Ax+By+C=0$
E poi il teo di Dini è applicabile soltanto nel caso di Lineare $Ax+By+C=0$
Quello che a me interessa sapere è come si deve procedere nello studio dell'applicabilità del teorema alla prima opzione
No guarda che il Teorema del Dini ha come ipotesi il fatto che la derivata parziale rispetto alla seconda variabile sia diversa da zero, e che invece come hai detto te F(x,y)=0.
Quindi non mi sono confuso ? 
No, non ti sei confuso! Comunque una volta visto che in un intorno di (0,0) non puoi definire la funzione implicita, direi che automaticamente anche la prima affermazione è falsa..
Egregi signori temo di aver posto male la domanda.
Le due righe finali del testo dell'esercizio sono due richieste indipendenti tra loro la seconda quella con (0,0) l'ho subito risolta come dite voi e la prima domanda su tutto R che non so affrontare.
lordb ti chiedo scusa non volevo offenderti.
Le due righe finali del testo dell'esercizio sono due richieste indipendenti tra loro la seconda quella con (0,0) l'ho subito risolta come dite voi e la prima domanda su tutto R che non so affrontare.
lordb ti chiedo scusa non volevo offenderti.
"Stefano Martinazzi":
La seconda possibilità è sicuramente sbagliata perchè in $text{(0,0)}$ l'uguaglianza è $!=0$
Al di là del merito, come può un'uguaglianza essere diversa da zero? Intendiamoci, lo stesso dicasi se avessi scritto che un'uguaglianza è uguale a zero. In generale, un'uguaglianza può essere verificata oppure non veriifcata. Si tratta di esprimersi in modo corretto.
"Stefano Martinazzi":
lordb ti chiedo scusa non volevo offenderti.
Mica mi sono offeso per così poco!
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