Esercizio sul principio di induzione

[92kiaretta]

Ciao avrei bisogni di una mano con qst esercizio
dimostrare che

[math]2^{n}\geq n^{2} \forall n\geq4[/math]

base dell'induzione

[math]P(4): 16\geq16[/math]

vera

ora suppongo vera P(n) e dimostro P(n+1)

P(n+1)

[math]2^{n+1}\geq(n+1)^{2}[/math]

ora so da P(n) che

[math]2^{n}\geq n^{2}[/math]

quindi mi basterebbe considerare

[math]2\geq 1+2n[/math]

giusto?
ma da qua non so cosa fare, potete aiutarmi? Grazie mille in anticipo

[Studente Anonimo]

Dunque, vogliamo dimostrare che
per ogni

[math]n\ge 4[/math]

vale

[math]2^n \ge n^2\\[/math]

.

Base dell'induzione:
La disuguaglianza è sicuramente vera per

[math]\small n=4[/math]

, in quanto è vero che

[math]\small 16 \ge 16\\[/math]

.

Passo induttivo:
Supponiamo che la disuguaglianza sia vera
per

[math]\small n[/math]

e dimostriamo che allora è vera anche
per

[math]n+1[/math]

. In effetti vale

[math]2^{n+1} = 2\cdot 2^n \ge 2\cdot n^2 \ge (n+1)^2[/math]

,
dove la prima disuguaglianza discende
dall'ipotesi di induzione, mentre per quanto
riguarda la seconda è sufficiente sviluppare
i conti per mostrare che è vera per

[math]n \ge 4[/math]

.

[math]\square\\[/math]

Ok? :)

[92kiaretta]

no capisco tato bene come mai poassiamo da 2^n e poi scriviamo n^2

[Studente Anonimo]

L'ipotesi induttiva consta del fatto tale disuguaglianza valga per

[math]n[/math]

, ossia che per ogni

[math]n \ge 4[/math]

si abbia

[math]2^n \ge n^2[/math]

. Moltiplicando ambo i membri per

[math]2[/math]

si perviene alla disequazione di cui sopra. Il resto è tutto scritto lì, si tratta di un'applicazioncina di tale principio che perlomeno quando lo si utilizza per dimostrare uguaglianze/disuguaglianze i passaggi (concettuali) sono sempre quelli. Altri esercizi svolti li trovi qui(click). ;)

[92kiaretta]

ok ho capito grazie mille!!! :)

[ciampax]

Io la dimostrerei al contrario, per evitare troppi sconvolgimenti: sappiamo he

[math]n^2\le 2^n[/math]

, pertanto

[math](n+1)^2=n^2+2n+1\le 2^n+2n+1[/math]

Ora, è banale e immediato verificare che

[math]2n+1\le 2^n[/math]

per ogni

[math]n\ge 4[/math]

per cui

[math](n+1)^2\le 2^n+2^n=2\cdot 2^n=2^{n+1}[/math]