Esercizio sul Principio di Induzione
Salve a tutti, dopo aver studiato e capito teoricamente il principio di induzione sto avendo qualche problema a risolvere gli esercizi, più che altro non riesco a comprendere bene il meccanismo degli esercizi dove vi è una qualsiasi disequazione.
Andiamo per gradi:
$sum_{k=1}^n k=(n(n+1))/2$
dunque è vera per P(1); la poniamo vera per P(n) è la proviamo per P(n+1).
$sum_{k=1}^(n+1) k=((n+1)(n+2))/2$
in maniera molto spicciola mi è stato consigliato di cercare di dividere il primo membro dell'esperessione come P(n) più il resto...
quindi se:
$sum_{k=1}^n k= 1+2+3+...+n-1+n=P(n)$
$sum_{k=1}^(n+1) k= (1+2+3+...+n)+n+1=P(n)+n+1$
quindi prendiamo ora il secondo membro e gli aggiungiamo n+1
$(n(n+1))/2+(n+1)$
con le opportune operazioni vedremo che sarà uguale a $((n+1)(n+2))/2$
quindi è stata verificata la tesi...
ora passiamo a
$n^2>2n+1$ $AAn>=3$
dunque è vera per P(3); la poniamo vera per P(n) è la proviamo per P(n+1).
$(n+1)^2>2(n+1)+1$
inizio provando a scomporre $(n+1)^2$ quindi
$(n+1)^2=n^2+2n+1$
ora la parte eccedente a P(n) ovvero $2n+1$ la aggiungo al secondo membro di P(n) dunque;
$n^2+2n+1>2n+1+2n+1$
da qui in poi mi blocco, ho visto in altri esempi che vi è da fare un altro confronto tra $2n+1+2n+1>$ qualcos'altro che sarà uguale a 2(n+1)+1 ma non riesco più a continuare
Grazie a chiunque cercherà di darmi una risposta!
EDIT:
ho notato che in molti esercizi pongono $2n+1+2n+1$ maggiore della scomposizione del secondo fattore quindi $2n+2+1=2(n+1)+1$
Ditemi se sbaglio ma di base credo sia questo il procedimento!
Anche se in questo esercizio specifico, il libro lo risolve in questa maniera e non capisco il perchè:
Pone$(n+1)^2=n^2+2n+1>2n+1+2n+1>=7+2n+1=2n+8>2(n+1)+1$
Andiamo per gradi:
$sum_{k=1}^n k=(n(n+1))/2$
dunque è vera per P(1); la poniamo vera per P(n) è la proviamo per P(n+1).
$sum_{k=1}^(n+1) k=((n+1)(n+2))/2$
in maniera molto spicciola mi è stato consigliato di cercare di dividere il primo membro dell'esperessione come P(n) più il resto...
quindi se:
$sum_{k=1}^n k= 1+2+3+...+n-1+n=P(n)$
$sum_{k=1}^(n+1) k= (1+2+3+...+n)+n+1=P(n)+n+1$
quindi prendiamo ora il secondo membro e gli aggiungiamo n+1
$(n(n+1))/2+(n+1)$
con le opportune operazioni vedremo che sarà uguale a $((n+1)(n+2))/2$
quindi è stata verificata la tesi...
ora passiamo a
$n^2>2n+1$ $AAn>=3$
dunque è vera per P(3); la poniamo vera per P(n) è la proviamo per P(n+1).
$(n+1)^2>2(n+1)+1$
inizio provando a scomporre $(n+1)^2$ quindi
$(n+1)^2=n^2+2n+1$
ora la parte eccedente a P(n) ovvero $2n+1$ la aggiungo al secondo membro di P(n) dunque;
$n^2+2n+1>2n+1+2n+1$
da qui in poi mi blocco, ho visto in altri esempi che vi è da fare un altro confronto tra $2n+1+2n+1>$ qualcos'altro che sarà uguale a 2(n+1)+1 ma non riesco più a continuare
Grazie a chiunque cercherà di darmi una risposta!
EDIT:
ho notato che in molti esercizi pongono $2n+1+2n+1$ maggiore della scomposizione del secondo fattore quindi $2n+2+1=2(n+1)+1$
Ditemi se sbaglio ma di base credo sia questo il procedimento!
Anche se in questo esercizio specifico, il libro lo risolve in questa maniera e non capisco il perchè:
Pone$(n+1)^2=n^2+2n+1>2n+1+2n+1>=7+2n+1=2n+8>2(n+1)+1$
Risposte
Beh, $ 2n+1+2n+1=2n+2+2n=2(n+1)+2n>2(n+1)+1 $ perchè $ 2n>=6 $
ciao frink e grazie, tanto per chiarirmi meglio le idee...forse non hai visto l'ultimo pezzo del mio post perchè l'ho editato dopo che hai scritto...
quindi praticamente potrei dire anche che $(n+1)^2=n^2+2n+1>2n+1+2n+1=2(n+1)2n>2n+3=2(n+1)+1$ perchè 2n>=6
quindi praticamente potrei dire anche che $(n+1)^2=n^2+2n+1>2n+1+2n+1=2(n+1)2n>2n+3=2(n+1)+1$ perchè 2n>=6
ti posto un altro esercizio svolto giusto per capire se ho acquisito la logica:
$2^nn!<=n^n$ $AAn>=6$
per P(6) è vera.
quindi do per vera P(n) e provo P(n+1)
$2^(n+1)(n+1)!<=(n+1)^(n+1)$
$2^(n+1)((n+1)!)=2*2^n*n!*(n+1)<=n^n2(n+1)<=(n+1)(n+1)^n=(n+1)^(n+1)$
$n^n2(n+1)<=(n+1)(n+1)^n$ questo è dettato dal fatto che $2n^n<=(n+1)^n$ $AAn>=6$
$2^nn!<=n^n$ $AAn>=6$
per P(6) è vera.
quindi do per vera P(n) e provo P(n+1)
$2^(n+1)(n+1)!<=(n+1)^(n+1)$
$2^(n+1)((n+1)!)=2*2^n*n!*(n+1)<=n^n2(n+1)<=(n+1)(n+1)^n=(n+1)^(n+1)$
$n^n2(n+1)<=(n+1)(n+1)^n$ questo è dettato dal fatto che $2n^n<=(n+1)^n$ $AAn>=6$
Qualcuno potrebbe dirmi se è tutto corretto?
Scusa ma potresti riscrivere la prima (cioè la proposizione da provare)? perché non ho capito bene ...
Se interpreto la prima come $2^n!<=n^n$ non mi pare sia vera per $P(6)$ ...
Cordialmente, Alex
Se interpreto la prima come $2^n!<=n^n$ non mi pare sia vera per $P(6)$ ...
Cordialmente, Alex
Dovrebbe essere $2^n *n! <= n^n$
"blastor":
... questo è dettato dal fatto che $2n^n<=(n+1)^n$ $AAn>=6$
Da dove ricavi questo?
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