Esercizio sul polinomio di Taylor.
Ragazzi premetto che non ho capito molto bene il polinomio di Taylor, qualcuno potrebbe spiegarmi cortesemente come si risolve un esercizio di questo tipo:
"Scrivere il polinomio di Taylor di centro 0 e ordine 4 della funzione $ f(x)=log(cos(x)) $ e utilizzarlo per risolvere la formula d'indecisione $ lim_(x -> 0) (2log(cosx)+(x)^(2) )// sin(x)^(4) $ "
Ringrazio l'anima pia che vorrà aiutarmi
"Scrivere il polinomio di Taylor di centro 0 e ordine 4 della funzione $ f(x)=log(cos(x)) $ e utilizzarlo per risolvere la formula d'indecisione $ lim_(x -> 0) (2log(cosx)+(x)^(2) )// sin(x)^(4) $ "
Ringrazio l'anima pia che vorrà aiutarmi
Risposte
Sai scrivere la formula del polinomio di Taylor? Basta applicarla 
"faximusy":
Sai scrivere la formula del polinomio di Taylor? Basta applicarla
Ti ringrazio per la risposta.
mmm... non mi è molto chiaro, scusami se insisto, ciò che m'interessa è capire le dinamiche
Praticamente sostituisco alla formula $ sum_(k = 0)^(n)(f^(k)(x_0)) / (k!) *(x-x_0)^(k) $ ((che è la formula del polinomio di Taylor)) il valore n = 4 e x0 = 0, giusto?
E' così?
E se è così, come faccio ad utilizzare la formula ottenuta per risolvere il limite?
Scusatemi se faccio domande ovvie.
No ma è più semplice di quanto non sembri.
Di ordine 4, quindi inizia a fare le 4 derivate: derivi $log(cosx)$ fino alla derivata quarta, poi le sostituisci nella formula, sostituendo alla $x$ il valore $x_0=0$ (dentro le derivate e anche fuori)
Se vuoi, puoi postare i passaggi
Di ordine 4, quindi inizia a fare le 4 derivate: derivi $log(cosx)$ fino alla derivata quarta, poi le sostituisci nella formula, sostituendo alla $x$ il valore $x_0=0$ (dentro le derivate e anche fuori)
Se vuoi, puoi postare i passaggi
il procedimento è molto lungo, non lo scrivo per non perdere tempo ((spero tu voglia scusarmi)), ma credo d'aver capito, non è difficile, avevi ragione tu.
Ma come faccio, ad utilizzare questa formula per risolvere la formula d'indecisione del limite?
Comunque grazie mille, sei stato molto chiaro, purtroppo il libro che sto usando è abbastanza criptico per me.
Ma come faccio, ad utilizzare questa formula per risolvere la formula d'indecisione del limite?
Comunque grazie mille, sei stato molto chiaro, purtroppo il libro che sto usando è abbastanza criptico per me.
Per quel limite, basta semplicemente che inserisci il risultato che ottieni con Taylor al posto della funzione all'interno del limite.
Esempio.
Se hai: $\lim_(x->0) (sin(x)+x)/(ln(1+x))$
vai a calcolare taylor e ottieni:
$sin(x)\sim x-x^3/6$
$ln(1+x)\sim x-x^2/2$
Quindi, sostituisci e otterresti:
$(x-x^3/6 +x)/(x-x^2/2) = (-x^3/6)/(x-x^2/2)$
A questo punto tieni presente che devi sostituire il polinomio di Taylor di ordine più basso possibile (perchè il resto sono o-piccoli sempre piu irrilevanti),
quindi al denominatore basta solo $x$, mentre $x^2/2$ è inutile.
quindi:
$\lim_(x->0) (-x^3/6)/(x)$
e poi risolvi questo facile limite
Esempio.
Se hai: $\lim_(x->0) (sin(x)+x)/(ln(1+x))$
vai a calcolare taylor e ottieni:
$sin(x)\sim x-x^3/6$
$ln(1+x)\sim x-x^2/2$
Quindi, sostituisci e otterresti:
$(x-x^3/6 +x)/(x-x^2/2) = (-x^3/6)/(x-x^2/2)$
A questo punto tieni presente che devi sostituire il polinomio di Taylor di ordine più basso possibile (perchè il resto sono o-piccoli sempre piu irrilevanti),
quindi al denominatore basta solo $x$, mentre $x^2/2$ è inutile.
quindi:
$\lim_(x->0) (-x^3/6)/(x)$
e poi risolvi questo facile limite
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