Esercizio sul limite
$\lim_{x \to \infty}[(x^2-5x+3)/(x^2+2x+3)]^(2x+1)$
Allora spiego i passaggi che ho fatto.
questo limite mi ricoduce alla forma indeterminata (1 elevato ad infinito)
ho usato questa uguaglianza qua
$f(x)^(g(x)$ $= e^[lna(x) b(x)]$
Ho riscritto il limite
$\lim_{x \to \infty}[(2x+1) ln [(x^2-5x+3)/(x^2+2x+3)] $
E mi sono ricondotto a $0/0$
$\lim_{x \to \infty}[ ln (x^2-5x+3)/(x^2+2x+3)]/(1/(2x+1) $
Ora qui ho applicato il confronto tra infiniti, che sapendo che l'ordine del numeratore è inferiore perchè vi è un log , prevale il denominatore e quindi il limite vale 0.
ora sono arrivato all'uguaglianza scritta sopra $f(x)^(g(x)$ $= e^[lna(x) b(x)]$
e ho detto che il limite vale $e^0$
volevo capire dove sbaglio.
sicuramente sbaglio da qualche parte perchè in ogni esercizio di questo tipo vedendo il logaritmo al numeratore il denominatore prevale e il limite vale sempre $e^0$ quindi qualcosa non va!
Allora spiego i passaggi che ho fatto.
questo limite mi ricoduce alla forma indeterminata (1 elevato ad infinito)
ho usato questa uguaglianza qua
$f(x)^(g(x)$ $= e^[lna(x) b(x)]$
Ho riscritto il limite
$\lim_{x \to \infty}[(2x+1) ln [(x^2-5x+3)/(x^2+2x+3)] $
E mi sono ricondotto a $0/0$
$\lim_{x \to \infty}[ ln (x^2-5x+3)/(x^2+2x+3)]/(1/(2x+1) $
Ora qui ho applicato il confronto tra infiniti, che sapendo che l'ordine del numeratore è inferiore perchè vi è un log , prevale il denominatore e quindi il limite vale 0.
ora sono arrivato all'uguaglianza scritta sopra $f(x)^(g(x)$ $= e^[lna(x) b(x)]$
e ho detto che il limite vale $e^0$
volevo capire dove sbaglio.
sicuramente sbaglio da qualche parte perchè in ogni esercizio di questo tipo vedendo il logaritmo al numeratore il denominatore prevale e il limite vale sempre $e^0$ quindi qualcosa non va!
Risposte
$
lo puoi anche scrivere come $lim_(x->infty)[1+(-(7x)/(x^2+2x+3))]^(2x+1)$
ora io lo vedo come $lim_(n->infty)(1+1/n)^n$ pongo la sostituzione $-(7x)/(x^2+2x+3)=1/y$
e noto che se $x->-infty, y->+infty$ e se $x->+infty, y->-infty$
$[lim_(y->+infty)(1+1/y)]^(lim_(x->-infty)2x+1)=>[(lim_(y->+infty)(1+1/y)^y)^(lim_(y->+infty)1/y)]^(lim_(x->-infty)2x+1)$
$e^((lim_(x->-infty)-((7x(2x+1))/(x^2+2x+3)))=1/e^14$ Dall'altro lato viene uguale.
Con l'uguaglianza che ho usato io è proprio sbagliato quindi?
Con l'uguaglianza che ho usato io è proprio sbagliato quindi?
non mi è chiaro questo:
$lim_(x->infty)[(ln(x^2-5x+3)/(x^2+2x+3))/(1/(2x+1))]$ ... $x^2+2x+3$ era dentro $ln$
$lim_(x->infty)[(ln(x^2-5x+3)/(x^2+2x+3))/(1/(2x+1))]$ ... $x^2+2x+3$ era dentro $ln$
"guido fonzo":
Ho riscritto il limite
E mi sono ricondotto a $0/0$
$\lim_{x \to \infty}[ ln ((x^2-5x+3)/(x^2+2x+3))]/(1/(2x+1) $
Ora qui ho applicato il confronto tra infiniti, ...
Ma non può essere un confronto tra infiniti, se mai un confronto tra infinitesimi visto che sia numeratore che denominatore tendono a 0
E si hai ragione quindi se vale il ragionamento del log come ho impostato io.. prevalendo il denominatore sul numeratore..
il limite dovrebbe essere $e^oo$ che è $oo$
il limite dovrebbe essere $e^oo$ che è $oo$
Considera che viene $e^(-14)$
diventa e^ ((2x+1)log(1- (7x/(x^2+2x+3)), applicando i limiti notevoli log(1- (7x/(x^2+2x+3))= - (7x/(x^2+2x+3), in quanto per oo òì argomento del logaritmo tende a 1 di conseguenza log1 è 0 , procedendo ottieni e^-((14x^2+7x)/(x^2+2x+3))quindi e^(-14) applicando il confronto fra infiniti...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo