Esercizio sul gradiente

enzo_87
ciao a tutti, ho sottomano questo esercizio, teorico, che no riesco a capire. iltesto dice:

sia $ f in C^1 (R^2 ; R ) $ una funzione non costante e tale che $ nabla f ( x,y) $ è parallelo al vettore xi + yj per ogni (x,y) appartenente ad R. quale delle seguenti affermazioni è/sono certamente vera/e?

1- f è una funzione illimitata
2- se f ammette un punto di minimo stretto, allora il minimo è in (0,0).

la prima cosa che non capisco è come fa una funzione $ f in C^1 (R^2 ; R ) $ ad essere non costante. potreste gentilmente farmene un esempio che magari poi capisco anche come rispondere al quesito??

grazie in anticipo

Risposte
Plepp
:lol: scusa ho detto una cazzata :lol: c'ho una confusione in testa per Fisica II che manco t'immagini...

Plepp
Del secondo punto, ora che dissonance m'ha "smontato", non mi viene una dimostrazione immediata (con i paraboloidi era semplice)...aspetta dissonance :D io ci penso e fino a più tardi, se mi viene in mente qualcosa, ti faccio sapere...

enzo_87
panico ragazzi :D ... l'esame si avvicina e spero davvero che non mi capitino esercizi così :? . nient, a dopo, spero che insieme si trovi la soluzione...
vi ringrazio intanto e scusate del disturbo

Plepp
A a a ecco...se $\nabla f(x,y)=\lambda(x,y)$, allora $\nabla f(x,y)=(0,0)$ ssse $(x,y)=(0,0)$, per cui...(nota che $f$ può avere anche un massimo nell'origine, ma questo non c'entra nulla con l'esercizio ;) ).

enzo_87
∇f(x,y)=λ(x,y), allora ∇f(x,y)=(0,0) ssse (x,y)=(0,0), per cui...

....per cui essendo $ xbar (i) + ybar (j) $ "positivo"...(0,0) pt di minimo???

Plepp
Non capisco cosa intendi...la traccia dice:
"enzo_87":

2- se f ammette un punto di minimo stretto, allora il minimo è in (0,0).

Che $f$ ammetta un (unico) punto stazionario, e che tale punto sia proprio l'origine, è assicurato dalle ipotesi. Per il teorema di Fermat, in un punto di minimo (massimo), interno al dominio, il gradiente è nullo. Dunque se $f$ ammette minimo, questo non può che assumerlo nell'origine. Ok ora?

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