Esercizio sul gradiente
ciao a tutti, ho sottomano questo esercizio, teorico, che no riesco a capire. iltesto dice:
sia $ f in C^1 (R^2 ; R ) $ una funzione non costante e tale che $ nabla f ( x,y) $ è parallelo al vettore xi + yj per ogni (x,y) appartenente ad R. quale delle seguenti affermazioni è/sono certamente vera/e?
1- f è una funzione illimitata
2- se f ammette un punto di minimo stretto, allora il minimo è in (0,0).
la prima cosa che non capisco è come fa una funzione $ f in C^1 (R^2 ; R ) $ ad essere non costante. potreste gentilmente farmene un esempio che magari poi capisco anche come rispondere al quesito??
grazie in anticipo
sia $ f in C^1 (R^2 ; R ) $ una funzione non costante e tale che $ nabla f ( x,y) $ è parallelo al vettore xi + yj per ogni (x,y) appartenente ad R. quale delle seguenti affermazioni è/sono certamente vera/e?
1- f è una funzione illimitata
2- se f ammette un punto di minimo stretto, allora il minimo è in (0,0).
la prima cosa che non capisco è come fa una funzione $ f in C^1 (R^2 ; R ) $ ad essere non costante. potreste gentilmente farmene un esempio che magari poi capisco anche come rispondere al quesito??
grazie in anticipo
Risposte
scusa ho detto una cazzata c'ho una confusione in testa per Fisica II che manco t'immagini...
Del secondo punto, ora che dissonance m'ha "smontato", non mi viene una dimostrazione immediata (con i paraboloidi era semplice)...aspetta dissonance 
io ci penso e fino a più tardi, se mi viene in mente qualcosa, ti faccio sapere...
io ci penso e fino a più tardi, se mi viene in mente qualcosa, ti faccio sapere...
panico ragazzi ... l'esame si avvicina e spero davvero che non mi capitino esercizi così 
. nient, a dopo, spero che insieme si trovi la soluzione...
vi ringrazio intanto e scusate del disturbo
... l'esame si avvicina e spero davvero che non mi capitino esercizi così . nient, a dopo, spero che insieme si trovi la soluzione...vi ringrazio intanto e scusate del disturbo
A a a ecco...se $\nabla f(x,y)=\lambda(x,y)$, allora $\nabla f(x,y)=(0,0)$ ssse $(x,y)=(0,0)$, per cui...(nota che $f$ può avere anche un massimo nell'origine, ma questo non c'entra nulla con l'esercizio 
).
).
∇f(x,y)=λ(x,y), allora ∇f(x,y)=(0,0) ssse (x,y)=(0,0), per cui...
....per cui essendo $ xbar (i) + ybar (j) $ "positivo"...(0,0) pt di minimo???
Non capisco cosa intendi...la traccia dice:
Che $f$ ammetta un (unico) punto stazionario, e che tale punto sia proprio l'origine, è assicurato dalle ipotesi. Per il teorema di Fermat, in un punto di minimo (massimo), interno al dominio, il gradiente è nullo. Dunque se $f$ ammette minimo, questo non può che assumerlo nell'origine. Ok ora?
"enzo_87":
2- se f ammette un punto di minimo stretto, allora il minimo è in (0,0).
Che $f$ ammetta un (unico) punto stazionario, e che tale punto sia proprio l'origine, è assicurato dalle ipotesi. Per il teorema di Fermat, in un punto di minimo (massimo), interno al dominio, il gradiente è nullo. Dunque se $f$ ammette minimo, questo non può che assumerlo nell'origine. Ok ora?
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