Esercizio sul gradiente
ciao a tutti, ho sottomano questo esercizio, teorico, che no riesco a capire. iltesto dice:
sia $ f in C^1 (R^2 ; R ) $ una funzione non costante e tale che $ nabla f ( x,y) $ è parallelo al vettore xi + yj per ogni (x,y) appartenente ad R. quale delle seguenti affermazioni è/sono certamente vera/e?
1- f è una funzione illimitata
2- se f ammette un punto di minimo stretto, allora il minimo è in (0,0).
la prima cosa che non capisco è come fa una funzione $ f in C^1 (R^2 ; R ) $ ad essere non costante. potreste gentilmente farmene un esempio che magari poi capisco anche come rispondere al quesito??
grazie in anticipo
sia $ f in C^1 (R^2 ; R ) $ una funzione non costante e tale che $ nabla f ( x,y) $ è parallelo al vettore xi + yj per ogni (x,y) appartenente ad R. quale delle seguenti affermazioni è/sono certamente vera/e?
1- f è una funzione illimitata
2- se f ammette un punto di minimo stretto, allora il minimo è in (0,0).
la prima cosa che non capisco è come fa una funzione $ f in C^1 (R^2 ; R ) $ ad essere non costante. potreste gentilmente farmene un esempio che magari poi capisco anche come rispondere al quesito??
grazie in anticipo
Risposte
Ciao,
una funzione $f:X->Y$ è costante se esiste un $y$ in $Y$ per cui $f(x)=y$ per ogni $x$ in $X$.
In altre parole la funzione $f$ assume sempre lo stesso valore $y$ per ogni $x$ in $X$, detto questo perchè ti sembra strano che $f \in C^1(R^2;R)$ non possa essere non costante?
Per esempio $z=x^2+y^2$ è una funzione da $R^2$ a $R$ e NON è costante.
una funzione $f:X->Y$ è costante se esiste un $y$ in $Y$ per cui $f(x)=y$ per ogni $x$ in $X$.
In altre parole la funzione $f$ assume sempre lo stesso valore $y$ per ogni $x$ in $X$, detto questo perchè ti sembra strano che $f \in C^1(R^2;R)$ non possa essere non costante?
Per esempio $z=x^2+y^2$ è una funzione da $R^2$ a $R$ e NON è costante.
Ciao, ho fatto un tremendo errore...ho asociato a non costante non continua...che babbeo che sono.
Però accorto dell'errore ho pensato alla funzione: (1/2)x^2 + (1/2)y^2 in modo tale che il gradiente siaparallelo al vettore dato.
Trovo che il punto stazionario è (0,0), la matrice hessiana ha come primo termine 1, quindi maggiore di 0, come il determinante.
Quindi (0,0) è punto di minimo stretto ed inoltre la funzione è limitata...
Può essere giusto come ragionamento??
Chiedo ancora scusa per il mio errore e grazie per la risposta.
Ciaoooo
Però accorto dell'errore ho pensato alla funzione: (1/2)x^2 + (1/2)y^2 in modo tale che il gradiente siaparallelo al vettore dato.
Trovo che il punto stazionario è (0,0), la matrice hessiana ha come primo termine 1, quindi maggiore di 0, come il determinante.
Quindi (0,0) è punto di minimo stretto ed inoltre la funzione è limitata...
Può essere giusto come ragionamento??
Chiedo ancora scusa per il mio errore e grazie per la risposta.
Ciaoooo
OK, hai fatto un esempio, giusto fino a qui:
In tutti i modi questo non risponde a nessuna delle due domande.
PS: Scrivi bene le formule, anche se sono piccole, i post diventano molto più leggibili.
la funzione è limitataquesta è una grossa fesseria, perché?
In tutti i modi questo non risponde a nessuna delle due domande.
PS: Scrivi bene le formule, anche se sono piccole, i post diventano molto più leggibili.
PS: Scrivi bene le formule, anche se sono piccole, i post diventano molto più leggibili.
hai ragione ma scrivevo dal telefono...non ero al pc prima, scusami.
questa è una grossa fesseria, perché?
allora, altro errore banale: avevo pensato alla funzione come equazione, estrapolando la y...ma ho sbagliato i calcoli, avevo fatto a mente veloce visto che non ero a casa ....totalmente sbagliato quindi lasciamo stare che è meglio
.ricomincio il ragionamento va...
f(x,y)= $ 1/2 x^2 + 1/2 y ^2 $
sul punto di minimo ci siamo già capiti
. però ora non capisco come dimostrare che la funzione non è illimitata...la soluzione del tema d'esame dice che è vera solo la seconda affermazione.
come va impostato il ragionamento?
grazie mille intanto
Ma il testo d'esame parla di una generica funzione \(f\) con quelle proprietà. Puoi concludere che essa non è limitata? L'esempio specifico che hai scritto è una funzione non limitata, ma ce ne potrebbero essere altre, con la proprietà richiesta, e però limitate.
Devi ragionare in astratto, non solo sul singolo esempio concreto. Quello ti può servire per farti un'idea, ma poi devi andare al caso generale.
Devi ragionare in astratto, non solo sul singolo esempio concreto. Quello ti può servire per farti un'idea, ma poi devi andare al caso generale.
ma allora potrei dire la stessa cosa anche per il secondo punto??
visto che si parla in generale...come faccio a dire che è in (0,0) un punto di minimo stretto??
visto che si parla in generale...come faccio a dire che è in (0,0) un punto di minimo stretto??
Io procederei così. Abbiamo due vettori, $\nabla f(x,y)=(\partial_x f, \partial_y f)$ e $P=(x,y)$, che sono paralleli; diciamo che due vettori $v,w\in RR^2$ sono paralleli quando $\exists \lambda\in RR$ tale che $v=\lambda w$. Quindi, dal momento che $\nabla f (x,y)||P$, abbiamo $\nabla f(x,y)=\lambda\cdot (x,y)=(\lambda x, \lambda y)$ per un certo $\lambda\in RR$...qui dovresti poter concludere
ehm, ti chiedo scusa ma...mi trovo in difficoltà...seguo il ragionamento, che alla fine è il ragionamento dei moltiplicatori di lagrange...ma con lagrange lavoro su restrizioni alla funzione, e quindi posso dire se c'è min o max...ma su questa funzione astratta???
Mah, io sinceramente il metodo dei moltiplicatori di Lagrange non l'ho mai studiato sul serio, poichè non era nel programma del corso, ma ci ho dato più volte un'occhiata: mi pare che non c'entri proprio nulla
Secondo me devi chiederti questo: come sono fatte le funzioni tali che $\nabla f(x,y)=(kx,ky)$ $\forall (x,y)\in RR^2$(ci metto $k$, così non pensi più a Lagrange ) con $k$ costante? Magari prima ragiona in una dimensione, ché poi generalizzare è semplice.
Secondo me devi chiederti questo: come sono fatte le funzioni tali che $\nabla f(x,y)=(kx,ky)$ $\forall (x,y)\in RR^2$(ci metto $k$, così non pensi più a Lagrange
) con $k$ costante? Magari prima ragiona in una dimensione, ché poi generalizzare è semplice.
mah, eppure a me ricordava molto i moltiplicatori, se non per la restrizione che manca...cmq:
come avevo già citato prima nel mio esempio: una funzione del genere $ f(x,y)= 1/2x2+1/2y2 $ ??
ma come mi è stato detto per la funzione illimitata...facendo un esempio della funzione, non perdo la generalità della domanda?
come sono fatte le funzioni tali che ∇f(x,y)=(kx,ky) ∀(x,y)∈R2
come avevo già citato prima nel mio esempio: una funzione del genere $ f(x,y)= 1/2x2+1/2y2 $ ??
ma come mi è stato detto per la funzione illimitata...facendo un esempio della funzione, non perdo la generalità della domanda?
Infatti, non devi fare un esempio. Aspetta un momento, per illimitata cosa intendi? Illimitata sia superiormente che inferiormente? Ché in tal caso mi trovo, altrimenti no...
ah...mi cogli di sorpresa...personalemte intendevo superiormente...ma a sto punto non so cosa intende il testo.
chiedo scusa per l'ignoranza
chiedo scusa per l'ignoranza
Ma no ragazzi, una funzione a valori reali è "non limitata" se e solo se il suo valore assoluto non è limitato superiormente. Queste sono cose proprio di analisi 0.01. L'esempio portato prima è una funzione positiva (quindi coincidente col proprio valore assoluto) non limitata superiormente, come subito visto, ad esempio, studiandone la restrizione all'asse delle \(y\). E quindi è una funzione non limitata.
Ma no ragazzi, una funzione a valori reali è "non limitata" se e solo se il suo valore assoluto non è limitato superiormente. Queste sono cose proprio di analisi 0.01. L'esempio portato prima è una funzione positiva (quindi coincidente col proprio valore assoluto) non limitata superiormente, come subito visto, ad esempio, studiandone la restrizione all'asse delle y. E quindi è una funzione non limitata
d'accordo con te...ma con questo esempio l'esercizio mi risulta sbagliato...allora vorrei cercare di capire come risolverlo con la funzione astratta come mi avevi consigliato prima.
quindi, parlndo in generale ok, la funzione può essere anche limitata...ma sempre parlando in generale ora mi chiedo come verificare il punto (0,0)?
"dissonance":
Ma no ragazzi, una funzione a valori reali è "non limitata" se e solo se il suo valore assoluto non è limitato superiormente.
Beh, non può essere. Non voglio essere presuntuoso Dissonance, ci mancherebbe, nè mettere la mia parola contro la tua, ma dando per vera la tua definizione, non mi ritrovo con la soluzione*, stando alla quale la prima affermazione è falsa.
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*al di là di quello che ho concluso io, abbiamo convenuto che $x^2/2+y^2/2$ è una funzione con le caratteristiche volute dal problema ($C^1(RR^2)$, non costante, $\nabla f(x,y)||(x,y)$): questa funzione, in base alla tua definizione, è illimitata, il che è in contraddizione con la soluzione.
Perché dite così, ragazzi...? L'esercizio dice: sia assegnata una funzione \(f(x, y)\) di classe \(C^1\), non costante e tale che \(\nabla f(x, y)=\lambda(x, y) (x, y)\) (ovvero, il gradiente è parallelo al raggio vettore). Possiamo concludere che \(f\) è non limitata?
Abbiamo qui esibito un esempio di una funzione che verifica le ipotesi e non è limitata. Ma sono tutte così? E non è mica detto. Ad esempio, io suggerisco che \(f(x,y)=\arctan(x^2+y^2)\) verifica le ipotesi e però è limitata.
Abbiamo qui esibito un esempio di una funzione che verifica le ipotesi e non è limitata. Ma sono tutte così? E non è mica detto. Ad esempio, io suggerisco che \(f(x,y)=\arctan(x^2+y^2)\) verifica le ipotesi e però è limitata.
Mah, sarà che sto prendendo un abbaglio potente, ma non mi pare affatto che quell'arcotangente abbia gradiente parallelo al raggio vettore...A me pare che le funzioni che verifichino le ipotesi siano tutti e soli i paraboloidi simmetrici rispetto all'asse $z$...
invece ha ragione...se faccio il gradiente risulta:
$ nabla f(x,y) = ( (2x)/ (1 + (x^2 + y^2)^2) ; (2y)/ (1 + (x^2 + y^2)^2) ) $
ora, facendo il determinante di: $ | ( (2x)/ (1 + (x^2 + y^2)^2) , (2y)/ (1 + (x^2 + y^2)^2) ),( x , y ) | $
vediamo che è uguale a zero, verificando il parallelismo dei due vettori.(se dico cavolate ditemelo nè)
ok. non sarei stato in grado di pensare al volo all'arcotangente io.
rimane il dubbio del pnto (0,0) parlando astrattamente però
$ nabla f(x,y) = ( (2x)/ (1 + (x^2 + y^2)^2) ; (2y)/ (1 + (x^2 + y^2)^2) ) $
ora, facendo il determinante di: $ | ( (2x)/ (1 + (x^2 + y^2)^2) , (2y)/ (1 + (x^2 + y^2)^2) ),( x , y ) | $
vediamo che è uguale a zero, verificando il parallelismo dei due vettori.(se dico cavolate ditemelo nè)
ok. non sarei stato in grado di pensare al volo all'arcotangente io.
rimane il dubbio del pnto (0,0) parlando astrattamente però
già...è sbagliata la soluzione allora 
già...è sbagliata la soluzione allora
come mai?ha appena dimostrato che la funzione è limitata..metre l'affermzaione del testo diceva che era illimitata.per cui falsa...la soluzione del tema dice appunto che l'unica vera è la seconda
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