Esercizio sul gradiente

[miles_davis1]

Sia $f in C^1(RR^2)$ tale che $gradf(x) *x >= 0$ per ogni $x in RR^2$ con $|x|=1$.
Dimostrare che esiste $bar x in RR^2$ tale che $grad f(bar x)=0$.

[Thomas16]

credo che potresti vederla così... considera la tua $f$ ristretta al cerchio unitario. Visto che la f è continua, essa assume minimo sul compatto. Se è il minimo è nella parte interna, il gradiente là è uguale a 0 (condizione necessaria per essere minimo se la f è $C^1$)... altrimenti il minimo è sul bordo, ma questo non può essere, visto che sul bordo il gradiente si può supporre non nullo (altrimenti avremmo trovato già il punto voluto) e che la condizione data equivale a dire che il vettore rappresentativo del gradiente "punta" sempre verso l'esterno della circonferenza...

[miles_davis1]

"altrimenti il minimo è sul bordo, ma questo non può essere, visto che sul bordo il gradiente si può supporre non nullo (altrimenti avremmo trovato già il punto voluto)"

Scusami Thomas, ma non riesco a capire questo passaggio. Potresti chiarirmelo? Grazie.

[Luca.Lussardi]

Infatti e' poco chiaro: se il minimo sta sul bordo non e' detto che li' il gradiente sia nullo: quello che si puo' dire e' che, per il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange il gradiente deve essere ortogonale al bordo del cerchio.

[Thomas16]

no aspettate, io intendo questo. Siamo nel caso con il minimo sul bordo.

- se il gradiente sul bordo si annulla abbiamo finito perchè si è trovato il punto in cui il gradiente si annulla;

- se il gradiente sul bordo non si annulla allora non è un minimo, in quanto le ipotesi richiedono che il vettore gradiente punti verso l'esterno e quindi andando verso l'interno la funzione diminuirà;

[Luca.Lussardi]

Ok, adesso mi sembra che vada bene.

[miles_davis1]

"se il gradiente sul bordo non si annulla allora non è un minimo, in quanto le ipotesi richiedono che il vettore gradiente punti verso l'esterno e quindi andando verso l'interno la funzione diminuirà;"
Scusate la mia ottusità... Perchè l'ipotesi dice che il vettore gradiente punta verso l'esterno e perchè se punta verso l'esterno allora siamo sicuri che verso l'interno la fuinzione diminuisce?
Grazie.

[Luca.Lussardi]

Il prodotto scalare con il vettore raggio e' positivo, quindi il gradiente forma un angolo acuto con il raggio, e quindi punta esternamente. Ne segue che se io mi muovo lungo il raggio ma verso il centro del cerchio ho una componente non nulla (e negativa) del gradiente, ovvero la funzione decresce.

[miles_davis1]

Ti ringrazio. Ora è tutto chiaro.