Esercizio sul flusso di un campo vettoriale

[Sword1]

Salve a tutti, in questi giorni mi sto preparando per l'esame di analisi 2 solo che sto riscontrando difficoltà nella risoluzione di esercizi che richiedono di calcolare il flusso del campo vettoriale attraverso una superficie.
Ecco un esercizio che anche se credo sia facile non riesco a fare.

Calcolare il flusso del campo vettoriale F(x, y, z) = (x^3, y^3, z) uscente dalla superficie dell'elissoide x^2+y^2+2z^2=<4

Io avevo pensato prima di tutto di calcolare la derivata delle componenti di F e poi parametrizzare l'elissoide e calcolare il jacobiano, dopo di che non riesco più ad andare avanti.
Ringrazio chi risponderà

[Lele0012]

E' un'ottima idea! Suppongo tu voglia avvalerti del teorema della divergenza, per calcolare...
$\Phi=\int_(\partialV) \vec(F)\cdot\d\vec(s)=\int_V\nabla\cdot\vec(F)d\tau$
Ovviamente l'ellissoide è comodo da calcolare in coordinate sferiche, e da lì metti lo jacobiano della trasformazione dell'integrale: sei praticamente a metà lavoro, dov'è che ti sei bloccato? Quale passaggio ti impedisce di proseguire?

[Sword1]

Si avevo pensato di usare il teorema della divergenza per risolvere l'esercizio.
Il mio problema sorge quando poi devo mettere in pratica ciò che ho pensato.Infatti, dopo aver impostato l'integrale triplo come la divergenza di F( in coordinate sferiche) , cioè la somma delle derivate parziali delle componenti rispetto agli assi,moltiplicando per lo jacobianjacobiano ,ma non riesco a capire mai con sicurezza l'ordine delle variabili che devo considerare per prime da integrare.

[Lele0012]

Andiamo con calma: avrai capito che devi porre questo cambio di coordinate,
${(x=2\rhosin\thetacos\phi),(y=2\rhosin\thetasin\phi),(z=\sqrt(2)\rhocos\theta):}$
Dove $\rho$ descrive la distanza dal centro del nostro sistema di riferimento dai punti del dominio, $\theta$ è l'angolo tra $\rho$ e l'asse z, e $\phi$ l'angolo tra l'asse x e la proiezione di $\rho$ sul piano xy: se sei pratico delle coordinate polari, tutto questo ti sarà certamente familiare. Facendo un po' di calcoli, lo jacobiano della trasformazione è pari a $J=4\sqrt(2)\rho^2sin\theta$.
Ora, noi cercavamo...
$\Phi=\int_(\partialV)\vec(F)\cdot\d\vec(s)=\int_V\nabla\cdot\vec(F)d\tau=\int\int\int(3x^2+3y^2+1)dxdydz=$
$=\int\int\int(3\rho^2sin^2\theta+1)Jd\rhod\phid\theta==\int\int\int(3\rho^2sin^2\theta+1)4\sqrt(2)\rho^2sin\thetad\rhod\phid\theta$
Fin qui ci sei arrivato anche tu, giusto? Riesci a determinare, prima di tutto, quali dovrebbero essere gli estremi di integrazione?

[Sword1]

Si, mi trovo con tutto quello che hai scritto.
Ora per quanto riguarda gli estremi di integrazione penso che ρ∈[0,2], θ∈[0,2π] e ϕ∈[0,π], anche se non sono del tutto sicura.

[Lele0012]

Quasi giusto! Quando passi in coordinate sferiche (o cilindriche, o qualsiasi altro sistrma di coordinate) devi rispettare una serie di "vincoli" dettati dalla trasformazione: nel caso delle coordinate sferiche, deve necessariamentr valere che $\rho>0$, $\theta\in[0,\pi]$ e $\phi\in[0,2\pi]$. Tutte le altre condizioni, tutte le altre restrizioni, vanno determinate a seconda del dominio di integrazione. Nel tuo caso, vale:
$x^2+y^2+2z^2<=4$
E, sostituendo le equazioni del cambio di coordinate, osservi che vale
$\rho<=1$
Che è la condizione imposta dal tuo dominio: quindi $\rho$ varierà da 0 a 1, e gli angoli, poiché non hanno restrizioni imposte dal dominio, varieranno normalmente come imposto dalla trasformazione. Ora ti chiedo, è importante l'ordine di integrazione?

[Sword1]

Ragionando sugli intervalli delle variabili si considera l'insieme normale rispetto a tutti e 3 gli assi delle coordinate sferiche e quindi ormai non ha più importanza l'ordiene di integrazione. Il mio ragionamento è giusto?

[Lele0012]

Giustissimo

[Sword1]

Scusa se ti disturbo ancora, ma se ho un esercizio in cui mi chiede il flusso del campo vettorile in cui nom è possibile usare il teorema della divergenza , poichè non ho una superficie chiusa, come dovrei comportarmi?

[Lele0012]

Beh, non puoi calcolare semplicemente il flusso? Mostra l'esercizio che lo vediamo un po'

[Sword1]

Eccomi. Allora se per esempio ho un esercizio in cui mi chiede di calcolare il flusso del campo vettoriale F(x,y,z)=(z,0,x^2) uscente dalla superficie di equazione z=x^2+y^2 che si proietta nel quadrato [-1,1]×[-1,1]
Anche qui potrei utilizzare il teorema della divergenza?

[Lele0012]

In realtà, che io ricordi il teorema della divergenza ha una formulazione molto generale che lo estende anche a superfici aperte (forse dico una sciocchezza), ma non saprei proprio come applicarla: calcola il flusso normalmente qui, non dovrebbe essere difficile, e se hai problemi chiedi pure