Esercizio sul flusso attraverso una superficie (paraboloide, ellissoide...)
Buonasera a tutti,
avrei bisogno di aiuto per capire come impostare il procedimento per risolvere gli esercizi che richiedono il flusso attraverso superfici come quelle citate nel titolo.
Questo è il testo di uno degli esercizi tipo su questo argomento:
Calcolare il flusso del campo vettoriale $ F=(x,x,x) $ uscente dalla superficie del paraboloide $ z=2-x^2-y^2, z>=0 $.
Non riesco proprio a capire come impostarlo sia che lo si debba risolvere direttamente (che credo voglia dire con il prodotto scalare tra F e n), sia attraverso il teorema della divergenza, perché soprattutto non riesco a capire quali debbano essere gli estremi di integrazione.
Spero veramente in un vostra risposta anche perché tra pochi giorni ho l'esame e vorrei riuscire a capire questo argomento prima di andare a farlo.
Grazie.
avrei bisogno di aiuto per capire come impostare il procedimento per risolvere gli esercizi che richiedono il flusso attraverso superfici come quelle citate nel titolo.
Questo è il testo di uno degli esercizi tipo su questo argomento:
Calcolare il flusso del campo vettoriale $ F=(x,x,x) $ uscente dalla superficie del paraboloide $ z=2-x^2-y^2, z>=0 $.
Non riesco proprio a capire come impostarlo sia che lo si debba risolvere direttamente (che credo voglia dire con il prodotto scalare tra F e n), sia attraverso il teorema della divergenza, perché soprattutto non riesco a capire quali debbano essere gli estremi di integrazione.
Spero veramente in un vostra risposta anche perché tra pochi giorni ho l'esame e vorrei riuscire a capire questo argomento prima di andare a farlo.
Grazie.
Risposte
Il teorema della divergenza puoi tranquillamente applicarlo ($F$ è di classe $C^1$, e la superficie $S={(x,y,z)| z=2-x^2-y^2, z \geq 0}$ è chiusa), successivamente per calcolare l'integrale di volume $V={(x,y,z)| z \leq 2-x^2-y^2, z \geq 0}$ userei le coordinate cilindriche
Ok grazie Dan, ma se invece ci fosse bisogno di calcolare con il prodotto scalare tra F e il verso normale n, come dovrei impostarlo?
Se non ricordo male...
Per prima cosa parametrizzi la superficie in questo modo:
${(x=u\cos(v)),(y=u\sin(v)),(z=2-u^2):}$
Dunque $vec(r)(u,v)=(u\cos(v),u\sin(v),2-u^2)$, successivamente calcoli il vettore normale come il prodotto vettoriale tra le derivate parziali della parametrizzazione:
$$\vec n=\frac{\partial \vec r}{\partial u}×\frac{\partial \vec r}{\partial v}$$
i calcoli li lascio a te...fatto questo ottieni un'espressione di questo tipo:
$\int_S F(\vec(r)(u,v)) \cdot \vec(n)dudv$
quindi non ti rimane che calcolare il prodotto scalare $F(\vec(r)(u,v)) \cdot \vec(n)$ e procedere con l'integrale doppio
Per prima cosa parametrizzi la superficie in questo modo:
${(x=u\cos(v)),(y=u\sin(v)),(z=2-u^2):}$
Dunque $vec(r)(u,v)=(u\cos(v),u\sin(v),2-u^2)$, successivamente calcoli il vettore normale come il prodotto vettoriale tra le derivate parziali della parametrizzazione:
$$\vec n=\frac{\partial \vec r}{\partial u}×\frac{\partial \vec r}{\partial v}$$
i calcoli li lascio a te...fatto questo ottieni un'espressione di questo tipo:
$\int_S F(\vec(r)(u,v)) \cdot \vec(n)dudv$
quindi non ti rimane che calcolare il prodotto scalare $F(\vec(r)(u,v)) \cdot \vec(n)$ e procedere con l'integrale doppio
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