Esercizio sul criterio di leibniz

[Deleted1]

Devo applicare il criterio di Leibniz per stabilire la convergenza di una serie.

Il termine generale è:

$(n+1)/(n^4+3)$

Tramite il limite a infinito so che è infinitesima, ma come faccio a vedere se decresce?

Sia tramite definizione...
$(n+2)/((n+1)^4+3)<=(n+1)/(n^4+3)$

che tramite lo studio del segno della derivata prima della funzione prolungamento, non riesco a procedere.
In questo secondo caso non so stabilire il segno del numeratore della derivata, che non si può scomporre con ruffini:

$3x^4+4x^3-3>0$ ??

Aiuti?

[Gi81]

Beh, alla fine a te interessano solo gli $x>=1$.

Se $x>=1$ si ha che $3x^4+4x^3-3>= 3 +4-3=4>0$

[Deleted1]

[size=50]Quindi posso concludere che la serie converge perchè dato che mi interessano solo le $x>=1$, visto che sostituendo il valore più piccolo (cioè 1) la disegualianza è verificata, allora lo è anche per i valori successivi. Sono delle considerazioni sufficienti per dimostrare la monotonia della funzione?[/size]

EDIT: sto blaterando. $f(x)$ stando ai calcoli fatti sopra sarebbe crescente per ogni $x>1$, ma in realtà so che decresce definitivamente, avendo tracciato il grafico con un software.

Questa è la derivata che ho calcolato:

$(3x^4+4x^3−3)/(x^4+3)^2$ e di cui dovrei studiare il segno. Il denominatore dovrebbe essere sempre positivo e quindi non influisce sullo studio, il numeratore...

[poncelet]

Guarda che la derivata viene $\frac{-3x^{4}-4x^{3}+3}{(x^{4}+3)^{2}}$ ed è negativa per $x \geq 1$

[Deleted1]

"maxsiviero":Guarda che la derivata viene $\frac{-3x^{4}-4x^{3}+3}{(x^{4}+3)^{2}}$ ed è negativa per $x \geq 1$

Avevo commesso un errore, ho ricopiato una derivata con un numeratore sbagliato.
Ma in base a cosa dici che è negativa per $x>1$ ? Solo per sostituzione del valore 1?

[poncelet]

Per lo stesso ragionamento che ha fatto Gi8.