Esercizio sul carattere di una serie

[Marina_LoveMetal]

Ciao a tutti,
sto sbattendo la testa contro una serie che WolframAlpha mi dà come divergente, mentre a me con ogni calcolo risolve in convergente:

$ sum_(n = 1)^oo (log(3^n+3^-n)-n)/(n*log(e/3)+sqrt(n)) $

I termini noti come $ log(e/3) $ è corretto eliminarli per asintoticità?

Grazie anticipatamente per le risposte

[Bremen000]

Ciao, affiché una serie converga è necessario (ma non sufficiente) che $\lim_{n \to \infty} a_{n}=0$. Per dimostrare che una serie non converga basta quindi mostrare che $\lim_{n \to \infty} a_{n} \ne 0$ che è proprio il nostro caso infatti:

$
\lim_{n \to \infty}a_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\log(3^n+3^{-n})-n}{n\log(\frac{e}{3})+\sqrt{n}} = \frac{log(3)-1}{\log(\frac{e}{3})} =-1 \ne 0 $

Quindi la serie diverge.

Non vorrei facessi casino con l'asintoticità, puoi "eliminare" i termini infinitesimi o comunque trascurabili rispetto a termini che sono infiniti di ordine superiore che qui sono $3^{-n}$ e $\sqrt{n}$.

Ciao.

[Marina_LoveMetal]

Grazie, ho capito che ad un certo punto ho cominciato a mischiare il metodo di risoluzione del limite con quello della serie e a dubitare dell'"eliminabilità" di tutto; adesso ho fatto ordine nel cervello, grazie