Esercizio sul carattere di una serie
Ciao, ho appena studiato le serie numeriche e adesso stavo provando a fare un esercizio.
Devo determinare il carattere della serie $\sum_{n=1}^{+\infty} (\sqrt{n^2+1} - n)^3$.
Se ho capito bene i passaggi da fare generalmente sono:
1) Verificare la condizione necessaria di Cauchy (ovvero calcolare il limite della successione $a_n$)
2) Determinare se la serie è a termini positivi o negativi (tramite disequazione o derivata prima)
3) Se è a termini negativi trasformarla in termini positivi raccogliendo il meno e portandolo fuori dal segno di serie
4) Ora che ho una serie a termini positivi, devo applicare uno dei criteri (rapporto, radice, confronto, condensazione, Leibniz (il prof ha fatto questi criteri)) per determinare il carattere della serie.
Altrimenti se riesco a ricondurmi direttamente a una serie nota sono a posto (armonica, geometrica, telescopica, mengoni).
Come prima cosa ho calcolato quindi il limite $\lim_{n\rightarrow +\infty} (\sqrt{n^2+1} - n)^3 = 0$ perciò non posso dire nulla sul carattere della serie.
Dopo aver calcolato il limite mi è venuto un dubbio: "Forse posso semplificare la serie spezzandola in due serie". Ma mi sono subito corretto perchè l'intero argomento è elevato a 3. E' giusto come ragionamento? Oppure posso svolgere l'elevamento a potenza e ottenere poi 4 serie differenti?
In ogni caso, come procedo? Non mi sembra che la serie assomigli a nessuna di quelle note nè vedo un criterio appropriato da applicare...
Grazie
Devo determinare il carattere della serie $\sum_{n=1}^{+\infty} (\sqrt{n^2+1} - n)^3$.
Se ho capito bene i passaggi da fare generalmente sono:
1) Verificare la condizione necessaria di Cauchy (ovvero calcolare il limite della successione $a_n$)
2) Determinare se la serie è a termini positivi o negativi (tramite disequazione o derivata prima)
3) Se è a termini negativi trasformarla in termini positivi raccogliendo il meno e portandolo fuori dal segno di serie
4) Ora che ho una serie a termini positivi, devo applicare uno dei criteri (rapporto, radice, confronto, condensazione, Leibniz (il prof ha fatto questi criteri)) per determinare il carattere della serie.
Altrimenti se riesco a ricondurmi direttamente a una serie nota sono a posto (armonica, geometrica, telescopica, mengoni).
Come prima cosa ho calcolato quindi il limite $\lim_{n\rightarrow +\infty} (\sqrt{n^2+1} - n)^3 = 0$ perciò non posso dire nulla sul carattere della serie.
Dopo aver calcolato il limite mi è venuto un dubbio: "Forse posso semplificare la serie spezzandola in due serie". Ma mi sono subito corretto perchè l'intero argomento è elevato a 3. E' giusto come ragionamento? Oppure posso svolgere l'elevamento a potenza e ottenere poi 4 serie differenti?
In ogni caso, come procedo? Non mi sembra che la serie assomigli a nessuna di quelle note nè vedo un criterio appropriato da applicare...
Grazie
Risposte
secondo me,la strada è quella dell'asintoticità
$sqrt(n^2+1)-n=n(sqrt(1+1/n^2)-1)$
ora,il termine in parentesi è asintotico a $1/2cdot1/n^2$ a causa del limite notevole
$ lim_(x -> 0)((1+x)^alpha-1)/x=alpha $
adesso la faccenda dovrebbe risultare più semplice
$sqrt(n^2+1)-n=n(sqrt(1+1/n^2)-1)$
ora,il termine in parentesi è asintotico a $1/2cdot1/n^2$ a causa del limite notevole
$ lim_(x -> 0)((1+x)^alpha-1)/x=alpha $
adesso la faccenda dovrebbe risultare più semplice
Ciao, grazie mille per la risposta.
Perciò non devo controllare se la serie è a termini positivi oppure l'hai dato per scontato?
Quindi hai usato il confronto asintotico.. Ovvero hai trovato una seconda serie $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n = \sum_{n=1}^{+\infty} (n*1/2*1/n^2)^3$ (ho rimesso l'elevamento a potenza e il valore $n$ che moltiplicava la quantità tra parentesi).
Semplifico e ottengo $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n = \sum_{n=1}^{+\infty} (1/2*1/n)^3$.
Ora ho le due serie $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ e $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n$ e devo calcolare il limite $\lim_{n\rightarrow +\infty} a_n/b_n = L$.
Perciò non devo controllare se la serie è a termini positivi oppure l'hai dato per scontato?
Quindi hai usato il confronto asintotico.. Ovvero hai trovato una seconda serie $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n = \sum_{n=1}^{+\infty} (n*1/2*1/n^2)^3$ (ho rimesso l'elevamento a potenza e il valore $n$ che moltiplicava la quantità tra parentesi).
Semplifico e ottengo $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n = \sum_{n=1}^{+\infty} (1/2*1/n)^3$.
Ora ho le due serie $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ e $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n$ e devo calcolare il limite $\lim_{n\rightarrow +\infty} a_n/b_n = L$.
- se $L \in (0, +\infty) \rightarrow $le serie $a_n$ e $b_n$ hanno lo stesso carattere[/list:u:1igrswkb]
- se $L =0$ e la serie $b_n$ converge $\rightarrow$ $a_n$ converge[/list:u:1igrswkb]
- se $L =+\infty$ e la serie $b_n$ diverge $\rightarrow$ $a_n$ diverge[/list:u:1igrswkb]
Sto procedendo nel modo giusto?
Scusa ma è il mio primo esercizio sulle serie...
due serie che hanno i termini asintotici hanno lo stesso carattere
la serie ottenuta ha come termine generale $1/(8n^3)$ e quindi converge perchè la serie di termine generale $1/n^alpha$ converge per ogni $alpha>1$
la serie ottenuta ha come termine generale $1/(8n^3)$ e quindi converge perchè la serie di termine generale $1/n^alpha$ converge per ogni $alpha>1$
Ho capito! Grazie.. gentilissimo/a 
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