Esercizio sul calcolo del baricentro
Salve a tutti, dovrei fare un esercizio sul calcolo del baricentro, la traccia è questa:
Sia $F$ il semicerchio $x^2+y^2<=1$, $y>=0$, $E_1$ il cerchio di raggio $1$ e centro $(1,0)$ ed $E_2$ il cerchio di raggio $1$ e centro $(-1,0)$. Posto $E=F-(E_1uuE_2)$, calcolare il baricentro della frontiera di $E$.
Ho fatto il disegno (che suppongo sia questo http://imageshack.us/photo/my-images/81 ... izio1.jpg/), ma non so precisamente come devo procedere...
Allora so che le coordnate del baricentro sono
data una curva $\phi(t)=(x(t),y(t))$
$x_0=1/(L(\phi))\int_(\phi)xds=1/(L(\phi))\int_(t_0)^(t_1)x(t)sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)dt$
$y_0=1/(L(\phi))\int_(\phi)yds=1/(L(\phi))\int_(t_0)^(t_1)y(t)sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)dt$
Ho considerato la frontiera di $E$ divisa in tre curve $\phi_1$ $\phi_2$ e $\phi_3$ e le ho parametrizzate in questo modo:
$\phi_1={(x(t)=cost-1),(y(t)=sent):}t\in[0,\pi/3]$ per il tratto di frontiera di sinistra
$\phi_2={(x(t)=cost+1),(y(t)=sent):}t\in[2/3\pi,\pi]$ per il tratto di frontiera di destra
$\phi_3={(x(t)=cost),(y(t)=sent):}t\in[\pi/3,2/3\pi]$ per il tratto di frontiera superiore
Ho calcolato la lunghezza di ogni curva ed è risultata uguale a $\pi/3$ per ogni curva, ma ora come devo procedere? Devo calcolare le coordinate del baricentro per ogni curva? E poi come giungo alla soluzione?
Grazie a tutti colore che mi aiuteranno
Sia $F$ il semicerchio $x^2+y^2<=1$, $y>=0$, $E_1$ il cerchio di raggio $1$ e centro $(1,0)$ ed $E_2$ il cerchio di raggio $1$ e centro $(-1,0)$. Posto $E=F-(E_1uuE_2)$, calcolare il baricentro della frontiera di $E$.
Ho fatto il disegno (che suppongo sia questo http://imageshack.us/photo/my-images/81 ... izio1.jpg/), ma non so precisamente come devo procedere...
Allora so che le coordnate del baricentro sono
data una curva $\phi(t)=(x(t),y(t))$
$x_0=1/(L(\phi))\int_(\phi)xds=1/(L(\phi))\int_(t_0)^(t_1)x(t)sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)dt$
$y_0=1/(L(\phi))\int_(\phi)yds=1/(L(\phi))\int_(t_0)^(t_1)y(t)sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)dt$
Ho considerato la frontiera di $E$ divisa in tre curve $\phi_1$ $\phi_2$ e $\phi_3$ e le ho parametrizzate in questo modo:
$\phi_1={(x(t)=cost-1),(y(t)=sent):}t\in[0,\pi/3]$ per il tratto di frontiera di sinistra
$\phi_2={(x(t)=cost+1),(y(t)=sent):}t\in[2/3\pi,\pi]$ per il tratto di frontiera di destra
$\phi_3={(x(t)=cost),(y(t)=sent):}t\in[\pi/3,2/3\pi]$ per il tratto di frontiera superiore
Ho calcolato la lunghezza di ogni curva ed è risultata uguale a $\pi/3$ per ogni curva, ma ora come devo procedere? Devo calcolare le coordinate del baricentro per ogni curva? E poi come giungo alla soluzione?
Grazie a tutti colore che mi aiuteranno
Risposte
Poichè l'ascissa è nulla per simmetria, basta calcolare l'ordinata. Dovresti calcolare l'ordinata per l'arco superiore e per uno dei due archi laterali.
Ok, una volta trovate le ordinate, dopo devo fare la media dei tre valori?
In pratica io ho trovato le tre ordinate che dovrebbero essere:
$3/\pi$ per $\phi_3$ (arco superiore)
$3/(2\pi)$ per $\phi_1$ e $\phi_2$ (archi laterali)
Facendo la media si avrebbe
$y_0=(3/\pi+3/(2\pi)+3/(2\pi))/3=2/\pi$
Quindi il baricentro della frontiera di E è il punto $(0,2/\pi)$
E' corretto?
In pratica io ho trovato le tre ordinate che dovrebbero essere:
$3/\pi$ per $\phi_3$ (arco superiore)
$3/(2\pi)$ per $\phi_1$ e $\phi_2$ (archi laterali)
Facendo la media si avrebbe
$y_0=(3/\pi+3/(2\pi)+3/(2\pi))/3=2/\pi$
Quindi il baricentro della frontiera di E è il punto $(0,2/\pi)$
E' corretto?
Non dovresti fare una media pesata?
Scusa per l'insistenza, quindi come dovrei procedere? Grazie ancora per la pazienza
Quando mi riferivo alla media pesata, intendevo dire che ogni ordinata calcolata in precedenza deve entrare nell'operazione di media moltiplicata per la lunghezza dell'arco corrispondente. Dovresti quindi applicare la seguente formula:
$y_G=(L_1y_1+L_2y_2+L_3y_3)/(L_1+L_2+L_3)$
Solo se $L_1=L_2=L_3$ allora $y_G=(y_1+y_2+y_3)/3$.
$y_G=(L_1y_1+L_2y_2+L_3y_3)/(L_1+L_2+L_3)$
Solo se $L_1=L_2=L_3$ allora $y_G=(y_1+y_2+y_3)/3$.
Giustissimo! Grazie veramente di cuore ora ho capito perfettamente... diciamo che io sono stato "fortunato nell'errore" perchè nel mio caso la lunghezza è $\pi/3$ per tutte e tre le curve e quindi è corretto il risultato che ho trovato, ma in generale non è sempre vero che le curve hanno lunghezza uguale e quindi la formula generale è proprio quella che hai scritto tu. Grazie ancora. Ciao 
Non mi ero accorto che gli archi avevano la stessa lunghezza!
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