Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali

[johnnyfreak1]

Si consideri il sistema dinamico

$X'=((0,-b),(b,0))X$ con $b!=0$. Dove X' è il vettore delle derivate. Mostrare, passando in coordinate polari, che l'origine è un punto di equilibrio stabile, ma non asintoticamente stabile.

Come si risolve, ma soprattutto come si passa in coordinate polari?

Grazie a chi si cimenterà... e anche agli altri:)

[johnnyfreak1]

nessuno ci riesce? Allora è difficile:)

[Lord K]

La risoluzione è abbastanza semplice, anche se per passare alle coordinate polari, è meglio fare un passo indietro e scrivere il sistema completo: ($X=(x,y)$)

${(x'=-by),(y'=bx):}$

Da cui la trasformazione:

${(x=rho*cosphi),(y=rho*sin phi):}$

${(x'=rho'*cosphi - rho phi' sin phi),(y'=rho'*sin phi+ rho phi' cos phi):}$

Inserisco nel sistema:

${(rho'*cos phi - rho phi' sin phi = -b rho sin phi),(rho'*sin phi+ rho phi' cos phi = b rho cos phi):}$

${(rho'*cos phi = rho (phi'-b)*sin phi),(rho'*sin phi = - rho (phi'-b) cos phi):}$

Supponiamo $sinphi !=0$ e $cosphi!=0$

$(rho')/rho = (phi'-b)*tg phi$

dalla prima e dalla seconda:

$(rho')/rho = - (phi'-b)*cotg phi$

Uguaglio le due:

$(phi'-b)*tg phi= - (phi'-b)*cotg phi$

La soluzione é:

$phi'-b = 0 Rightarrow phi = bt + c_0$

visto che:

$tg phi = -cotg phi$
$sin^2 phi = - cos^2 phi$

è impossibile.

[johnnyfreak1]

perfetto, seguendo il tuo ragionamento dovrebbe risultare $r'=0$ e $r=cos(phi)$, giusto? Ma a questo punto come si procede per risolvere?

[johnnyfreak1]

$r=rho$

[johnnyfreak1]

se non ti porta via troppo tempo approfitterò del tuo ultimo suggerimento, quando vuoi, sei stato comunque prezioso;) è che mi dispiace farmi risolvere gli esercizi, ma non sono uno studente di Matematica e non ho mai capito la teoria...

[fu^2]

qua puoi trovare qualcosa http://www.matapp.unimib.it/~noja/Meccanica/index.html

capitolo 2 e soprattutto 3 (guarda in fondo alla pagina). Sono un pò prolissi, ma a mio parere spiegati abbastanza bene... per l'esercizio in questione non rubo il lavoro al Lord

[Lord K]

Con:

$rho = rho_0$
$phi = bt+phi_0$

basta che sostituisco nella trasformazione ottenendo:

${(x=rho_0 cos (bt+phi_0)),(y=rho_0 sin (bt+phi_0)):}$

Dammi un momento e poi te la risolvo direttamente!

[johnnyfreak1]

sei gentilissimo Lord K:)

[Lord K]

Nel caso dei sistemi di equazioni differenziali, gioca un ruolo fondamentale la conoscenza della funzione di esponenziale di matrice. La soluzione del problema:

$X'=AX$

è:

$X(t) = e^(tA)X_0$

Allora in questo caso:

$e^(tA) = Id_2 + tA + t^2(A^2)/2 + ... + t^k(A^k)/(k!)+ ...$

Ma sappiamo che:

$A=((0,-b),(b,0)) Rightarrow A^2 = ((-b^2,0),(0,-b^2)) = -b^2 Id_2 Rightarrow A^3 = -b^2*A$

Quindi:

$X(t) = e^(tA)X_0 = [sum_(k=0)^(+oo)t^k(A^k)/(k!)](X_0) = [sum_(k text{ pari}) t^k(A^k)/(k!)](X_0) + [sum_(k text{ dispari}) t^k(A^k)/(k!)](X_0)$

dove:

$sum_(k text{ pari}) t^k(A^k)/(k!) = -sum_(k text{ pari}) (-1)^(k/2)(bt)^k/(k!) =- sum_(i=0)^(+oo) (-1)^(i)(bt)^(2i)/((2i)!) = -cos (bt)$

$sum_(k text{ dispari}) t^k(A^k)/(k!) = [sum_(k text{ dispari}) (-1)^((k-1)/2)(bt)^(k-1)/(k!)]*A = [sum_(i=0)^(+oo) (-1)^(i)(bt)^(2i-1)/((2i+1)!)]*A = 1/(bt)^2 *[sum_(i=0)^(+oo) (-1)^(i)(bt)^(2i+1)/((2i+1)!)]*A = 1/(bt)^2*sin (bt)*A$

Quindi:

$X(t) = e^(tA)X_0 = -cos(bt)*X_0 + 1/(bt)^2*sin (bt)*A(X_0)$

${(x(t)=-x_0cos(bt)-1/(bt^2)*y_0*sin(bt)),(y(t)=-y_0cos(bt)+1/(bt^2)*x_0*sin(bt)):}$

Non sono convintissimo dei conti (troppi) che ho svolto... ma spero sia chiaro il concetto. mi ci vorrà ancora un post!