Esercizio sui numeri reali...
salve, ho qualche problema con il risolvere questo esercizio... sapreste spiegarmelo?
Mostrare che, se $p ∈ NN$ è un numero primo, il numero $log_10p$ è irrazionale.
io avevo pensato di risolverla utilizzando il metodo per la dimostrazione per induzione...
ma è impossibile, visto che $p$ è un qualsiasi numero primo nel campo dei naturali.
inserire tutti i numeri primi al posto di $p$ nell'espressione $log_10p$ ovviamente è da escludere
quindi in che modo dovrei ragionare?
non chiedo la risposta, ma almeno una dritta via per raggiungerla da solo
Mostrare che, se $p ∈ NN$ è un numero primo, il numero $log_10p$ è irrazionale.
io avevo pensato di risolverla utilizzando il metodo per la dimostrazione per induzione...
ma è impossibile, visto che $p$ è un qualsiasi numero primo nel campo dei naturali.
inserire tutti i numeri primi al posto di $p$ nell'espressione $log_10p$ ovviamente è da escludere
quindi in che modo dovrei ragionare?non chiedo la risposta, ma almeno una dritta via per raggiungerla da solo
Risposte
Prova per assurdo, se fosse $\log_{10}p=r/s$ con $r,s$ naturali sarebbe $10^{r/s}=p$ da cui...
Supponi per assurdo che $existsm,n inZZ_0:log_(10)p=m/n$
Ovvero $m=n*log_(10)p=log_(10)p^n$
Per definizione diclogaritmo $5^m*2^m=10^m=p^n$
ora in questo c’è un problema..
Edit:
Avevo lasciato il cellulare con il messaggio scritto e mi hai preceduto
Ovvero $m=n*log_(10)p=log_(10)p^n$
Per definizione diclogaritmo $5^m*2^m=10^m=p^n$
ora in questo c’è un problema..
Edit:
Avevo lasciato il cellulare con il messaggio scritto e mi hai preceduto
solitamente la divisione tra due numeri razionali forma sempre un numero razionale...
scusate ma non sto capendo...
scusate ma non sto capendo...
L'idea di fondo dei post di Luca ed anto_zoolander è provare ad usare lo stesso ragionamento già visto per provare l'irrazionalità di $sqrt(2)$, ovviamente adattando l'argomento usato al caso in esame.
Cosa hai fatto per dimostrare che $sqrt(2)$ è irrazionale?
Come puoi adattare l'argomento per provare che $log_(10) p$ è irrazionale?
Prova a scrivere qualcosa. Metti le mani dentro questi contarielli, non avere paura di sporcarti... Ed, ovviamente, non tirare a caso!
Cosa hai fatto per dimostrare che $sqrt(2)$ è irrazionale?
Come puoi adattare l'argomento per provare che $log_(10) p$ è irrazionale?
Prova a scrivere qualcosa. Metti le mani dentro questi contarielli, non avere paura di sporcarti... Ed, ovviamente, non tirare a caso!
scusate, ma mi sto confondendo sempre più...
Ti e' stato dato un suggerimento cruciale, prendi $5^m2^m=p^q$ per $m,q$ naturali... non noti niente di strano se $p$ e' primo?
io ho provato a far così(seguendo i vostri consigli):
ipotiziamo per assurdo che $log_10(p)$ sia un numero razionale...
quindi il suo risultato è la divisione fra due numeri interi $log_10(p)=a/b$
quindi sarebbe $p=10^(a/b)$
se elevo tutto alla b $p^b=5^a*2^a$
ora, se $p$ fosse un numero primo e cercassi di dividere l'equazione proprio per $p$ il tutto non avrebbe molto senso, essendo sia il 5 che il 2 due numeri primi differenti... quindi il logaritmo è per forza irrazionale.
ma credo di aver sbagliato
ipotiziamo per assurdo che $log_10(p)$ sia un numero razionale...
quindi il suo risultato è la divisione fra due numeri interi $log_10(p)=a/b$
quindi sarebbe $p=10^(a/b)$
se elevo tutto alla b $p^b=5^a*2^a$
ora, se $p$ fosse un numero primo e cercassi di dividere l'equazione proprio per $p$ il tutto non avrebbe molto senso, essendo sia il 5 che il 2 due numeri primi differenti... quindi il logaritmo è per forza irrazionale.
ma credo di aver sbagliato
Un piccolo up??
E sì, ci sei! $p^b$ ha solo $p$ tra i suoi fattori primi (quindi un solo numero primo), mentre $10^a$ ha solo $2$ e $5$ (due primi distinti). Quindi i due numeri non possono essere uguali.
grazie mille 
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