Esercizio sui numeri complessi
Ciao ragà
vi propongo questo esercizio sui numeri complessi perchè mi sta facendo venire non sò cosa
...o sono scemo io e mi sfugge qualcosa (sbaglio un procedimento banale magari o non so...) oppure c'è qualcosa che non va...
vi anticipo che derive mi da lo stesso risultato del libro
...
per cui si pressuppone che il risultato del libro sia corretto ma io proprio non capisco da dove mi saltano fuori altre soluzioni..
dunque..l'esercizio è il seguente (lo darei per uno semplice e invece mi sta rompendo le scatole):
$z^2-7|z|=7$ con $z=x+iy$ appartenente a $C$
io ho risolto cosi..
$x^2+2ixy-y^2-7sqrt(x^2+y^2)=7$
$x^2-y^2-7sqrt(x^2+y^2)-7+i(2xy)=0$
A SISTEMA $x^2-y^2-7sqrt(x^2+y^2)-7=0$ con $2xy=0$
ho diviso il sistema in due sistemi uniti: uno ponendo $x=0$ e l'altro $y=0$ e andando a svolgere i rispettivi calcoli
dopo qualche calcoletto mi trovo con i due sistemi:
$y^2+7y+7=0$ con $x=0$ da cui ho le soluzioni $z_w=i((7+-sqrt(21))/2)$
e
$x^2-7x-7=0$ con $y=0$ da cui ho le soluzioni $z_w=((7+-sqrt(77))/2)$
per cui mi escono 4 soluzioni..
mentre le soluzioni dovrebbero essere (o meglio...sono!!!) due...e nella fattispecie [$sqrt(77)/2 + 7/2$ e $-sqrt(77)/2 - 7/2$] tali che $z_1+z_2=0$
(difatti le soluzioni vere verificano questa condizione)
dove sbaglio??? lo so già...sarà un errore scemo
....ma non riesco proprio a trovarlo...uff!!!
grazie ciao!!!
vi propongo questo esercizio sui numeri complessi perchè mi sta facendo venire non sò cosa
...o sono scemo io e mi sfugge qualcosa (sbaglio un procedimento banale magari o non so...) oppure c'è qualcosa che non va...vi anticipo che derive mi da lo stesso risultato del libro
...per cui si pressuppone che il risultato del libro sia corretto ma io proprio non capisco da dove mi saltano fuori altre soluzioni..
dunque..l'esercizio è il seguente (lo darei per uno semplice e invece mi sta rompendo le scatole):
$z^2-7|z|=7$ con $z=x+iy$ appartenente a $C$
io ho risolto cosi..
$x^2+2ixy-y^2-7sqrt(x^2+y^2)=7$
$x^2-y^2-7sqrt(x^2+y^2)-7+i(2xy)=0$
A SISTEMA $x^2-y^2-7sqrt(x^2+y^2)-7=0$ con $2xy=0$
ho diviso il sistema in due sistemi uniti: uno ponendo $x=0$ e l'altro $y=0$ e andando a svolgere i rispettivi calcoli
dopo qualche calcoletto mi trovo con i due sistemi:
$y^2+7y+7=0$ con $x=0$ da cui ho le soluzioni $z_w=i((7+-sqrt(21))/2)$
e
$x^2-7x-7=0$ con $y=0$ da cui ho le soluzioni $z_w=((7+-sqrt(77))/2)$
per cui mi escono 4 soluzioni..
mentre le soluzioni dovrebbero essere (o meglio...sono!!!) due...e nella fattispecie [$sqrt(77)/2 + 7/2$ e $-sqrt(77)/2 - 7/2$] tali che $z_1+z_2=0$
(difatti le soluzioni vere verificano questa condizione)
dove sbaglio??? lo so già...sarà un errore scemo
....ma non riesco proprio a trovarlo...uff!!!grazie ciao!!!
Risposte
Hai sbagliato nel passare da $sqrt{x^2}$ a $x$ e da $sqrt{y^2}$ a $y$. Ricorda che la radice quadrata è per definizione quella positiva.
In altre parole $sqrt{x^2}=|x|$, $sqrt{y^2}=|y|$.
In altre parole $sqrt{x^2}=|x|$, $sqrt{y^2}=|y|$.
a occhio...senza svolgere l'esercizio mi sorgono allora alcune considerazioni..
punto 1) se seguendo questo ragionamento ho il modulo come faccio a continuare?? devo fare $x_(1;2)$ e $y_(1;2)$ ponendo x e y prima $>=$0 e poi $<$ 0 ???
punto 2) ma radice quadrata e elevamento a potenza non sono uno l'inverso dell'altro?? cioè la radice non significa elevato alla 1/2 e quindi moltiplicato per 2 da esponente 1 e quindi si puo scrivere direttamente x e y??
punto 3) se è cosi (col modulo) alcune soluzioni si eliminano perchè risulta qualche sistema impossibile??
punto 1) se seguendo questo ragionamento ho il modulo come faccio a continuare?? devo fare $x_(1;2)$ e $y_(1;2)$ ponendo x e y prima $>=$0 e poi $<$ 0 ???
punto 2) ma radice quadrata e elevamento a potenza non sono uno l'inverso dell'altro?? cioè la radice non significa elevato alla 1/2 e quindi moltiplicato per 2 da esponente 1 e quindi si puo scrivere direttamente x e y??
punto 3) se è cosi (col modulo) alcune soluzioni si eliminano perchè risulta qualche sistema impossibile??
"mikelozzo":Quando hai una equazione con i moduli devi risolverla discutendo i vari casi. Per esempio se ti compare $|x|$ devi distinguere i due casi $x ge 0$ e $x<0$. Penso che tu abbia già risolto in passato equazioni coi moduli.
punto 1) se seguendo questo ragionamento ho il modulo come faccio a continuare?? devo fare $x_(1;2)$ e $y_(1;2)$ ponendo x e y prima $>=$0 e poi $<$ 0 ???
punto 2) ma radice quadrata e elevamento a potenza non sono uno l'inverso dell'altro?? cioè la radice non significa elevato alla 1/2 e quindi moltiplicato per 2 da esponente 1 e quindi si puo scrivere direttamente x e y??Prova a pensarci: se $x=-2$ allora hai $sqrt{(-2)^2}=sqrt{4}=2$, quindi in questo caso $sqrt{x^2}=-x$, no?
punto 3) se è cosi (col modulo) alcune soluzioni si eliminano perchè risulta qualche sistema impossibile??Sì, per esempio la prima diventa $y^2+7|y|+7=0$ che ovviamente non ha soluzioni reali perché la somma di tre cose positive non può fare zero.
[quote]punto 3) se è cosi (col modulo) alcune soluzioni si eliminano perchè risulta qualche sistema impossibile??
Sì, per esempio la prima diventa.............che ovviamente non ha soluzioni reali perché la somma di tre cose positive non può fare zero.[/quote]
aaaaaa...questo perche $y^2$ essendo un quadrato è sempre positivo, 7 è positivo e quindi l'unica cosa che potrebbe dare "fastidio" è $y$ che per essere positivo deve essere necessariamente imposta la condizione di valore assoluto (che è sempre positivo) e quindi $|y|$....essendo la somma di tre valori positivi nel peggiore dei casi sarà poco piu grande di 7 il valore che è cmq maggiore di 0 e dunque non potendo essere = 0 il sistema si annullerà e di conseguenza anche le soluzioni...
ho capito bene???
e io dovevo pensare a tutto questo papocchio??? AHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHHAA....
decisamente non sarò mai un professore di matematica....
ok!!!! thanks
"mikelozzo":
e io dovevo pensare a tutto questo papocchio??? AHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHAHHAA....
no non era necessario pensare a quel papocchio, se preferisci puoi distinguere i casi $y ge 0$ e $y<0$ e risolvere, ma non conviene far conti se li puoi evitare con una semplicissima osservazione.Comunque il fatto che hai capito questa cosa te la farà sicuramente venire in mente la prossima volta che avrai un caso simile.
ok....adesso il primo sistema è andato via...ma mi restano ancora due soluzioni di troppo
infatti il secondo sistema è cosi definito:
$\{(x^2-7|x|-7=0),(y=0):}$
il che vuol dire:
$\{(\{(x^2-7|x|-7=0),(x>=0):}),(y=0):}$ U $\{(\{(x^2-7|x|-7=0),(x<0):}),(y=0):}$
$\{(x^2-7x-7=0),(y=0):}$ U $\{(x^2+7x-7=0),(y=0):}$
da cui ottengo due soluzioni per il primo sistema e altre due per il secondo:
$\{(x_(1;2)=(7+-sqrt(77))/2),(y=0):}$ U $\{(x_(1;2)=(-7+-sqrt(77))/2),(y=0):}$
come mai?? in teoria ne dovrebbero essere solo due tali che $z_0 + z_1 = 0$
riuscirò mai a finire questo esercizio??? "ai posteri lardua sentenza"...
infatti il secondo sistema è cosi definito:
$\{(x^2-7|x|-7=0),(y=0):}$
il che vuol dire:
$\{(\{(x^2-7|x|-7=0),(x>=0):}),(y=0):}$ U $\{(\{(x^2-7|x|-7=0),(x<0):}),(y=0):}$
$\{(x^2-7x-7=0),(y=0):}$ U $\{(x^2+7x-7=0),(y=0):}$
da cui ottengo due soluzioni per il primo sistema e altre due per il secondo:
$\{(x_(1;2)=(7+-sqrt(77))/2),(y=0):}$ U $\{(x_(1;2)=(-7+-sqrt(77))/2),(y=0):}$
come mai??
in teoria ne dovrebbero essere solo due tali che $z_0 + z_1 = 0$ riuscirò mai a finire questo esercizio??? "ai posteri lardua sentenza"...
Quello che manca nei sistemi è
$\{(x^2-7x-7=0),(x>=0),(y=0):}$ U $\{(x^2+7x-7=0),(x<0),(y=0):}$
da cui
$\{(x_(1;2)=(7+-sqrt(77))/2),(x>=0),(y=0):}$ U $\{(x_(1;2)=(-7+-sqrt(77))/2),(x<0),(y=0):}$
nel primo sistema si elimina la soluzione $x=(7-sqrt(77))/2$ perché negativa e nel secondo la $x=(-7+sqrt(77))/2$ perché positiva
$\{(x^2-7x-7=0),(x>=0),(y=0):}$ U $\{(x^2+7x-7=0),(x<0),(y=0):}$
da cui
$\{(x_(1;2)=(7+-sqrt(77))/2),(x>=0),(y=0):}$ U $\{(x_(1;2)=(-7+-sqrt(77))/2),(x<0),(y=0):}$
nel primo sistema si elimina la soluzione $x=(7-sqrt(77))/2$ perché negativa e nel secondo la $x=(-7+sqrt(77))/2$ perché positiva
a ecco!!! quindi la condizione resta...ok!!! DEO GRATIAS!!! ^^
Osservo solo una cosa: riscrivendo l'equazione in questo modo:
$z^2=7(|z|+1)$
si nota che $z^2$ è un numero reale e positivo. Questo significa che l'argomento di $z^2$ è $0$, quindi l'argomento di $z$ è un multiplo di $pi$ (perché il doppio di esso dev'essere un multiplo di $2 pi$). In altre parole $z$ dev'essere reale: $z in RR$.
A questo punto si procede a trovare le soluzioni reali di $z^2-7|z|-7=0$, che è più semplice.
$z^2=7(|z|+1)$
si nota che $z^2$ è un numero reale e positivo. Questo significa che l'argomento di $z^2$ è $0$, quindi l'argomento di $z$ è un multiplo di $pi$ (perché il doppio di esso dev'essere un multiplo di $2 pi$). In altre parole $z$ dev'essere reale: $z in RR$.
A questo punto si procede a trovare le soluzioni reali di $z^2-7|z|-7=0$, che è più semplice.
"Martino":
A questo punto si procede a trovare le soluzioni reali di $z^2-7|z|-7=0$, che è più semplice.
Guardandolo così è addirittura banale: basta risolvere l'equazione di secondo grado $|z|^2-7|z|-7=0$, da cui $|z|=(7+-sqrt77)/2$ ma $|z|=(7-sqrt77)/2$ non è accettabile perché negativa, quindi $|z|=(7+sqrt77)/2$ e $z=+-(7+sqrt77)/2$
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