Esercizio sui numeri complessi
Salve, ho degli esercizi svolti sui numeri complessi, ma per alcuni di essi non riesco ad afferrare il ragionamento che c'è dietro. Ve ne posto uno per abusare della vostra disponibilità 
Risolvere e rappresentare sul piano di Gauss le soluzioni dei seguenti sistemi:
$ \{ (Re [\bar{z}(z + i)] <= 2), (Im z >= 0) :} $
SVOLGIMENTO
Posto $z = x + iy$ , iniziamo a trasformare la prima equazione del sistema:
$ \bar(z + i) = (x − iy)(x + iy + i) = x^2 + y^2 + y + ix $
Pertanto il sistema risulta:
$ \{ (x^2 + y^2 + y <= 2), (y >= 0) :} $
Nel piano di Gauss i punti che soddisfano al sistema sono i punti interni alla semicirconferenza di centro $ C (0,− 1/2) $ e raggio $ R = sqrt(1/4 + 2) = 3/2 $ , situati nel semipiano al di sopra dell’asse x (compresi i punti di frontiera).
---------------
Ora, fino a che si tratta di operare sul sistema ok, sono semplici calcoli algebrici, ma la rappresentazione sul piano di Gauss non l'ho proprio capita. Come ci arriva a quei risultati? Pensavo bastava porre la $x$ della prima disequazione $= 0$, poi la $y = 0$ e combinare i risultati per creare un grafico, ma evidentemente non funziona così. Ho le idee un po' confuse. Mi date una mano?
Risolvere e rappresentare sul piano di Gauss le soluzioni dei seguenti sistemi:
$ \{ (Re [\bar{z}(z + i)] <= 2), (Im z >= 0) :} $
SVOLGIMENTO
Posto $z = x + iy$ , iniziamo a trasformare la prima equazione del sistema:
$ \bar(z + i) = (x − iy)(x + iy + i) = x^2 + y^2 + y + ix $
Pertanto il sistema risulta:
$ \{ (x^2 + y^2 + y <= 2), (y >= 0) :} $
Nel piano di Gauss i punti che soddisfano al sistema sono i punti interni alla semicirconferenza di centro $ C (0,− 1/2) $ e raggio $ R = sqrt(1/4 + 2) = 3/2 $ , situati nel semipiano al di sopra dell’asse x (compresi i punti di frontiera).
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Ora, fino a che si tratta di operare sul sistema ok, sono semplici calcoli algebrici, ma la rappresentazione sul piano di Gauss non l'ho proprio capita. Come ci arriva a quei risultati? Pensavo bastava porre la $x$ della prima disequazione $= 0$, poi la $y = 0$ e combinare i risultati per creare un grafico, ma evidentemente non funziona così. Ho le idee un po' confuse. Mi date una mano?
Risposte
Per me ti sta semplicemente dicendo, una volta trovato l'insieme delle soluzioni (che tu hai stabilito essere quella semicirconferenza), di disegnarlo sul piano di Gauss, cioè sul buon vecchio piano cartesiano 
.
Per essere corretti, il piano di Gauss non è proprio $RR^2$ ma è isomorfo a $RR^2$; a te non importa di questo quando devi disegnare, è giusto per sapere
Qui c'è il disegno che ho fatto fare a wolfram; considera che a te serve solo il pezzo al di sopr dell'asse x (nn sapevo come dirgli di tagliare quel pezzo)
.Per essere corretti, il piano di Gauss non è proprio $RR^2$ ma è isomorfo a $RR^2$; a te non importa di questo quando devi disegnare, è giusto per sapere
Qui c'è il disegno che ho fatto fare a wolfram; considera che a te serve solo il pezzo al di sopr dell'asse x (nn sapevo come dirgli di tagliare quel pezzo
)
Quello che dice lo capisco, so leggere fortunatamente 
, ma probabilmente per qualche lacuna teorica non so come arrivare a quella circonferenza di centro C e raggio R guardando il sistema! Forse non mi ero spiegato bene.
In ogni caso grazie per aver risposto.
, ma probabilmente per qualche lacuna teorica non so come arrivare a quella circonferenza di centro C e raggio R guardando il sistema! Forse non mi ero spiegato bene. In ogni caso grazie per aver risposto.
L'equazione $x^2+y^2+ax+by+c=0 $ rappresenta una circonferenza di centro$ (-a/2;-b/2 ) $ e di raggio $r=sqrt(a^2/4+b^2/4-c)$ ; se non ricordi riguarda il libro di Geometria analitica del terzo anno.
Poiché la disequazione che rappresenta il luogo è $ x^2+y^2+y-2<=0 $ allora vuol dire che vanno considerati tutti i punti interni alla circonferenza ( per via del segno $<$ ) e anche il suo bordo ( per via del segno $=$ ).
Dopo di che nel sistema appare $y>=0 $ , quindi della crf devi considerare solo la parte che sta sopra l'asse delle ascisse e anche la porzione di asse x coinvolta ( per via del segno $=$ ) .
Poiché la disequazione che rappresenta il luogo è $ x^2+y^2+y-2<=0 $ allora vuol dire che vanno considerati tutti i punti interni alla circonferenza ( per via del segno $<$ ) e anche il suo bordo ( per via del segno $=$ ).
Dopo di che nel sistema appare $y>=0 $ , quindi della crf devi considerare solo la parte che sta sopra l'asse delle ascisse e anche la porzione di asse x coinvolta ( per via del segno $=$ ) .
ok non avevo capito cosa chiedessi in effetti Camillo ha risposto per me
Camillo ha risposto per me
"Camillo":
se non ricordi riguarda il libro di Geometria analitica del terzo anno.
Eh mi sa che è arrivata l'ora
. Ho sempre posticipato lo studio di quella parte in effetti. Grazie mille ad entrambi.
non vergognarti, qualche giorno fa uno dei miei ripetelli al primo anno di ingegneria mi ha chiesto cosa fosse un'ellisse perchè non lo sapeva (nel senso che non sapeva proprio esistesse, non come fosse la sua equazione) tu chiedi senza vergogna ed imparerai
tu chiedi senza vergogna ed imparerai
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