Esercizio sui numeri complessi
$ (-2(1+i)(1+sqrt(3)i))/((sqrt(3)+i)^3)$ e devo calcolare le radice quarte
Io ho fatto i calcoli al numeratore ed ho ottenuto $ (-5.46i+1.46)/((sqrt(3)+i)^3)$
poi ho pensato di calcolare la forma trigonometrica di numeratore e denominatore. Infine ottengo $ root(3)(5.65 cos (pi/6+2k pi)/3 - i sen (pi/6+2k pi)/3))$ Potete dirmi se è esatto?? grazie
Io ho fatto i calcoli al numeratore ed ho ottenuto $ (-5.46i+1.46)/((sqrt(3)+i)^3)$
poi ho pensato di calcolare la forma trigonometrica di numeratore e denominatore. Infine ottengo $ root(3)(5.65 cos (pi/6+2k pi)/3 - i sen (pi/6+2k pi)/3))$ Potete dirmi se è esatto?? grazie
Risposte
"mircosam":
$ (-5.46i+1.46)/((sqrt(3)+i)^3)$
In genere non conviene approssimare le radici (ho visto che l'hai fatto al numeratore). L'unico metodo che mi viene in mente è quello di svolgere il calcolo al denominatore, razionalizzare - magari va via qualcosa! - per poi "dividere" nel complesso parte reale e immaginaria.
A prima vista può sembrare un calcolo assurdo e inutile, ma magari qualcosa va via, ci spererei: tuttavia se qualcuno dalla vista più acuta della mia e con meno fretta vede un procedimento migliore... ben venga!
mircosam, prima di calcolare le radici quarte devi scrivere quel numero complesso in un'unica forma del tipo $\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$. Poi fai i calcoli!
"ciampax":
mircosam, prima di calcolare le radici quarte devi scrivere quel numero complesso in un'unica forma del tipo $\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$. Poi fai i calcoli!
Per questo gli avevo suggerito inizialmente di separare parte reale e immaginaria (con qualche calcolo).
"ciampax":
mircosam, prima di calcolare le radici quarte devi scrivere quel numero complesso in un'unica forma del tipo $\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$. Poi fai i calcoli!
Mi pare di aver separato parte reale da quella immaginaria, nella forma da te consigliata...
"mircosam":
Mi pare di aver separato parte reale da quella immaginaria, nella forma da te consigliata...
A parte l'edit successivo, qui
"mircosam":
Io ho fatto i calcoli al numeratore ed ho ottenuto $ (-5.46i+1.46)/((sqrt(3)+i)^3)$
non avevi separato parte reale e immaginaria (per quello ti avevo detto così).
Comunque stasera, durante Brasile - Uruguay mi armo di carta e penna e vedo se mi riporta uguale a te (a meno che non risponde qualcun'altro).
Ad occhio, ora, non mi piace la forma come l'hai messo (con la radice terza), ma solo perché in genere, con i complessi, le radici si esplicitano.
[size=85]EDIT
I calcoli sono sbagliati e li tolgo da questo post (si veda tra qualche post, dove ho corretto).
Ringrazio ciampax per aver dissentito: in questo modo mi ha fatto accendere tante lampadine e trovare alcuni errori di segno.
[/size]
Mmmmm, zero87 non vorrei fare l'avvocato del diavolo, ma io non sono d'accordo con il tuo risultato. Dunque, abbiamo che
$$-2=2(\cos\pi+i\sin\pi)$$
$$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$
$$1+i\sqrt{3}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$
$$(\sqrt{3}+i)^3=\left[2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\right]^3=8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)$$
e pertanto si ha
$$z=\frac{2(\cos\pi+i\sin\pi)\cdot\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\cdot 2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)}{8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{13\pi}{12}+i\sin\frac{13\pi}{12}\right)$$
A questo punto, usando la formula di DeMoivre inversa per il calcolo delle radici $n$-ime si ha
$$z_k=\frac{\sqrt[8]{2}}{\sqrt[4]{2}}\left(\cos\frac{\frac{13\pi}{12}+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\frac{13\pi}{12}+2k\pi}{4}\right),\qquad k=0,1,2,3$$
$$-2=2(\cos\pi+i\sin\pi)$$
$$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$
$$1+i\sqrt{3}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$
$$(\sqrt{3}+i)^3=\left[2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\right]^3=8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)$$
e pertanto si ha
$$z=\frac{2(\cos\pi+i\sin\pi)\cdot\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\cdot 2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)}{8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{13\pi}{12}+i\sin\frac{13\pi}{12}\right)$$
A questo punto, usando la formula di DeMoivre inversa per il calcolo delle radici $n$-ime si ha
$$z_k=\frac{\sqrt[8]{2}}{\sqrt[4]{2}}\left(\cos\frac{\frac{13\pi}{12}+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\frac{13\pi}{12}+2k\pi}{4}\right),\qquad k=0,1,2,3$$
"ciampax":
Mmmmm, zero87 non vorrei fare l'avvocato del diavolo, ma io non sono d'accordo con il tuo risultato.
Se sbaglio fai benissimo a smentirmi... anzi, devi!
Comunque io l'ho fatto carta e penna sviluppando tutti i calcoli: il bello è che il denominatore mi viene $8i$, quindi basta moltiplicare e dividere per $-i$ (il meno è per simpatia con i segni) per razionalizzare.
Avrò sbagliato qualche segno al numeratore o, peggio, la trasformazione in coordinate polari.
Per ora ho visto su wolframalpha che ho sbagliato la parte reale del numero di partenza (quella immaginaria, però, è giusta).
"mircosam":
$ (-2(1+i)(1+sqrt(3)i))/((sqrt(3)+i)^3)$ e devo calcolare le radice quarte
Io ho fatto i calcoli al numeratore ed ho ottenuto $ (-5.46i+1.46)/((sqrt(3)+i)^3)$
poi ho pensato di calcolare la forma trigonometrica di numeratore e denominatore. Infine ottengo $ root(3)(5.65 cos (pi/6+2k pi)/3 - i sen (pi/6+2k pi)/3))$ Potete dirmi se è esatto?? grazie
In forma un po' più compatta, la radice 4° di un numero complesso $z=\rho/_\phi$ è $\root(4)\rho/_(\phi/4+(2k\pi)/(4))$, con $k\inZZ$
dove il segno $/_$ indica l'angolo.
Prima calcolo il modulo:
$|(-2(1+i)(1+sqrt(3)i))/((sqrt(3)+i)^3)|=(2\ \sqrt2\ 2)/(8)=1/\sqrt2$
la cui radice 4° è $1/(\root(8)2)$
poi calcolo l'argomento:
$/_{(-2(1+i)(1+sqrt(3)i))/((sqrt(3)+i)^3)}=0+\pi/4+\pi/3-\pi/2=1/12 \pi$
Quindi $\root(4)z=1/(\root(8)2)/_[\pi/4(1/12 +2k)]$
"mircosam":
$ (-2(1+i)(1+sqrt(3)i))/((sqrt(3)+i)^3)$
Mi riimmetto postando qualche calcolo a mente fresca.
Il denominatore è $8i$ ed è una delle poche cose di cui sono sicuro.
per il numeratore
$-2(1+i)(1+\sqrt(3)i)=-2-2i-2\sqrt(3)i+2 \sqrt(3)= -2 (1+i+\sqrt(3)i-\sqrt(3))$
invece di moltiplicare e dividere per $-i$ come avevo fatto, pongo $-2= 2 i^2$.
Dunque
$\frac{2i^2 (1+i+\sqrt(3)i-\sqrt(3))}{8i}= \frac{i-1-\sqrt(3)-\sqrt(3)i}{4}= -\frac{1+\sqrt(3)}{4}+i \frac{1-\sqrt(3)}{4}$
purtroppo diverso da quello che avevo scritto prima
"Zero87":
il numero complesso di cui fare la radice è, una volta separate le variabili,
$ \frac{\sqrt(3)-1}{4}+i ( \frac{1-\sqrt(3)}{4}) $
Immaginavo che avevo sbagliato qualche segno: ho anche visto che wolframalpha finalmente mi dà ragione.
(Edito i messaggi sopra
).
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