Esercizio sui massimi e minimi vincolati

[Criiis04]

Buongiorno a tutti! Sto cercando di determinare i massimi e minimi assoluti della funzione \( f(x, y) = xy^3 \) soggetta al vincolo \( 2x^2 + y^2 = 3 \). Ho applicato il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e ho trovato diversi punti critici. Vorrei condividere il mio procedimento e sapere se ci sono errori o suggerimenti per migliorare la mia soluzione.

### **Consegna:**
Determinate il massimo e il minimo assoluti della funzione \( f(x, y) = xy^3 \) nel vincolo \( 2x^2 + y^2 = 3 \).

### **Procedimento:**

#### **1. Definizione della funzione e del vincolo:**
Consideriamo la funzione \( f(x, y) = xy^3 \) e il vincolo \( g(x, y) = 2x^2 + y^2 - 3 = 0 \).

#### **2. Calcolo dei punti critici con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange:**
Per utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, calcoliamo il sistema di equazioni:

\[
\nabla f = \lambda \nabla g
\]

dove:

- \( \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \left( y^3, 3xy^2 \right) \)
- \( \nabla g = \left( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y} \right) = \left( 4x, 2y \right) \)

Quindi il sistema di equazioni diventa:

\[
\begin{cases}
y^3 = \lambda 4x \quad \quad (1) \\
3xy^2 = \lambda 2y \quad \quad (2) \\
2x^2 + y^2 = 3 \quad \quad (3)
\end{cases}
\]

#### **3. Risoluzione del sistema:**

Dalla (2), se \( y \neq 0 \):
\[
\lambda = \frac{3xy^2}{2y} = \frac{3xy}{2}
\]

Sostituendo \(\lambda\) nella (1):
\[
y^3 = \frac{3xy}{2} \cdot 4x
\]

Portiamo i termini a sinistra:
\[
y^3 = 6x^2y \implies y(y^2 - 6x^2) = 0
\]

Da qui, otteniamo due casi:

1. \( y = 0 \)
2. \( y^2 = 6x^2 \implies y = \pm \sqrt{6} x \)

##### **Caso 1: \( y = 0 \)**

Sostituendo \( y = 0 \) nel vincolo (3):
\[
2x^2 + 0^2 = 3 \implies 2x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{2} \implies x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

I punti ottenuti sono:
- \( A = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \right) \)
- \( B = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \right) \)

Calcoliamo i valori di \( \lambda \):
- \( \lambda_A = 0 \)
- \( \lambda_B = 0 \)

---

##### **Caso 2: \( y^2 = 6x^2 \)**

Sostituendo \( y^2 = 6x^2 \) nel vincolo (3):
\[
2x^2 + 6x^2 = 3 \implies 8x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{8} \implies x = \pm \frac{\sqrt{3}}{4}
\]

Pertanto, i valori di \( y \) sono:
\[
y = \pm \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \pm \frac{3}{2}
\]

I punti ottenuti sono:
- \( C = \left( \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{2} \right) \)
- \( D = \left( \frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{3}{2} \right) \)
- \( E = \left( -\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{2} \right) \)
- \( F = \left( -\frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{3}{2} \right) \)

Calcoliamo i valori di \( \lambda \):
- Per i punti \( C \) e \( D \):
\[
\lambda_C = \lambda_D = \frac{9\sqrt{6}}{16}
\]

- Per i punti \( E \) e \( F \):
\[
\lambda_E = \lambda_F = -\frac{9\sqrt{6}}{16}
\]

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#### **4. Calcolo dei valori di \( f(x, y) \) nei punti trovati:**

**1. \( f(A) \):**
\[
f\left( \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \right) = 0
\]

**2. \( f(B) \):**
\[
f\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \right) = 0
\]

**3. \( f(C) \):**
\[
f\left( \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{27}{8} = \frac{27\sqrt{3}}{32}
\]

**4. \( f(D) \):**
\[
f\left( \frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{3}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left( -\frac{3}{2} \right)^3 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot -\frac{27}{8} = -\frac{27\sqrt{3}}{32}
\]

**5. \( f(E) \):**
\[
f\left( -\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^3 = -\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{27}{8} = -\frac{27\sqrt{3}}{32}
\]

**6. \( f(F) \):**
\[
f\left( -\frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{3}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left( -\frac{3}{2} \right)^3 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{27}{8} = \frac{27\sqrt{3}}{32}
\]

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#### **5. Risultati finali:**
- **Punto \( A \):** \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \right), f(A) = 0, \lambda_A = 0 \)
- **Punto \( B \):** \( \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \right), f(B) = 0, \lambda_B = 0 \)
- **Punto \( C \):** \( \left( \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{2} \right), f(C) = \frac{27\sqrt{3}}{32}, \lambda_C = \frac{9\sqrt{6}}{16} \)
- **Punto \( D \):** \( \left( \frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{3}{2} \right), f(D) = -\frac{27\sqrt{3}}{32}, \lambda_D = \frac{9\sqrt{6}}{16} \)
- **Punto \( E \):** \( \left( -\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{2} \right), f(E) = -\frac{27\sqrt{3}}{32}, \lambda_E = -\frac{9\sqrt{

6}}{16} \)
- **Punto \( F \):** \( \left( -\frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{3}{2} \right), f(F) = \frac{27\sqrt{3}}{32}, \lambda_F = -\frac{9\sqrt{6}}{16} \)

---

#### **Conclusione:**
I punti \( C \) e \( F \) hanno il valore massimo \( \frac{27\sqrt{3}}{32} \), mentre \( D \) ed \( E \) hanno il valore minimo \( -\frac{27\sqrt{3}}{32} \).

Grazie mille per il vostro aiuto!

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[pilloeffe]

Ciao Criss,

La radice quadrata di $8$ non è $4$...

La soluzione corretta del sistema è questa (per comodità ho scritto $w$ al posto di $\lambda $).

[Criiis04]

Grazie infinite per la risposta!