Esercizio sui limiti a due variabili:

[ludwigZero]

Ciao a tutti
E' un esercizio dallo sbordone e recita così:

si confrontino i limiti:

$(sin (x - 2y))/(x-y)$

e

$(sin(2 - 2y))/(x-y)$

per $(x,y)->(0,0)$

devo dimostrare che il metodo di risoluzione del primo limite non vale per il secondo. Per la risoluzione del primo limite, il libro usa il cambiamento di variabile, facendo uso di una funzione composta. ovvero:
$f(x,y)=f(t, l*t)$

Non capisco perchè non posso applicarlo al secondo limite. Usando lo stesso ragionamento, del primo limite, viene....

$(sin (2*t - 2*l*t))/(t-l*t)= (sin (2*t*(1-l)))/(t*(1-l))$

facendo il lim per $t->0$ viene:
$(sin (beta *t))/(alpha*t)= beta/alfa = 2$
usando il limite notevole per il $sin$
dove:
$beta=2*alpha=2*(1-l)$

tale limite, anche se dall'inizio, senza applicazione della funzione composta, veniva $2$, dopo averla estesa per continuità a tutto $RR^2$

cosa ne pensate? Cos è che mi sfugge?

[Luca.Lussardi]

Nel secondo limite il numeratore è $\sin(2-2y)$ e non $\sin(2x-2y)$, sempre che tu abbia scritto bene.

[ludwigZero]

Mi scusi, errore di copiatura, il secondo limite è:
$(sin(2x - 2y))/(x-y)$

[Luca.Lussardi]

Credo che lo scopo dell'esercizio fosse farti vedere che lungo la restrizione $x=t$, $y=l t$ hai che $\sin(x-2y)/(x-y)$ tende, quando $t\to 0$, a $(1-2l)/(1-l)$, che è una quantità che dipende da $l$, per cui applicando questo ragionamento si deduce che il limite in questione non esiste. Invece, usando lo stesso ragionamento per la seconda funzione ottieni che $\sin(2x-2y)/(x-y)$ tende a $1$ lungo la restrizione $x=t$, $y=l t$ per ogni valore di $l$, e quindi lo stesso ragionamento in questo caso non ti permette di concludere qualcosa circa l'esistenza del secondo limite.

[ludwigZero]

Il limite non è $1$ ma $2$ usando il limite notevole per il $sin$, tuttavia credo che hai ragione tu nel dire che non mi dice nulla sull'esistenza del limite. Inoltre da quel che ho letto, corregimi se sbaglio, quello di usare le restrizioni alle rette, o (in coordinate polari), è una condizione necessaria, ma non sufficiente.

[Luca.Lussardi]

Si scusa 2 non 1. Per il resto si, trovare limiti distinti lungo le restrizioni a curve è un metodo che può permetterti di concludere la non esistenza di un limite, ma che ti suggerisce solo il possibile candidato limite nel caso in cui trovi sempre uno ed un solo valore.