Esercizio sui limiti
Salve.
Ho trovato difficoltà con questo limite:
$Lim_x->oo (sqrt(a^n+1))$ però sulla radice c'è $n$
Le condizioni sono:
$a>0$
Il risultato è $max(a,1)$
Ma cosa significa? Maggiorante di questo insieme?
Ho trovato difficoltà con questo limite:
$Lim_x->oo (sqrt(a^n+1))$ però sulla radice c'è $n$
Le condizioni sono:
$a>0$
Il risultato è $max(a,1)$
Ma cosa significa? Maggiorante di questo insieme?
Risposte
Stai facendo il limite per $x\to\infty$ ma nella funzione non appare $x$... sei sicuro sia corretto il testo?
Forse andava scritto che $n$ tende a $+oo$
Notiamo che $lim_{n\to\infty} \root(n)(a^n + 1) = lim_{n\to\infty} (a^n + 1)^{1/n} = lim_{n\to\infty}e^{1/n log(a^n +1)}$
Studiamo allora solo l'esponente: $lim_{n\to\infty} \frac{log(a^n +1)}{n} = lim_{n\to\infty} (na^(n-1))/(a^n +1) = lim_{n\to\infty} (a^nloga)/(a^n +1) = lim_{n\to\infty} (loga)/(1/(a^n) +1)$
Ora, se $a>1$ questo limite è $loga$ quindi andando a sostituire nell'esponenziale di partenza si ha $e^{loga}=a$
Se $a=1$ il limite è $0$ che diventa quindi $e^0 = 1 = a$
Se infine $0
Questo può essere scritto in maniera compatta come $lim_{n\to\infty} \root(n)(a^n + 1)=max{1,a}$.
Studiamo allora solo l'esponente: $lim_{n\to\infty} \frac{log(a^n +1)}{n} = lim_{n\to\infty} (na^(n-1))/(a^n +1) = lim_{n\to\infty} (a^nloga)/(a^n +1) = lim_{n\to\infty} (loga)/(1/(a^n) +1)$
Ora, se $a>1$ questo limite è $loga$ quindi andando a sostituire nell'esponenziale di partenza si ha $e^{loga}=a$
Se $a=1$ il limite è $0$ che diventa quindi $e^0 = 1 = a$
Se infine $0
Questo può essere scritto in maniera compatta come $lim_{n\to\infty} \root(n)(a^n + 1)=max{1,a}$.
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