Esercizio sui limiti

[alfox1]

scusate ragazzi il mio prof propone un esercizio simile sul compito:

utilizzando la definizione di limite provare che risulta:

$lim_(x->-1) x^2 + 2x = -1$

sapendo che la definizione di limite è(o almeno come l'ha proposta il prof sulle sue slide):

$AA \epsilon > 0 EE \delta > 0 : 0 < |x-x_0| < \delta \rArr |f(x) - l| < \epsilon$


Come posso integrare il limite che chiede alla definizione?
avevo pensato ad una cosa del genere

$x^2 + 2x < \epsilon$ e svolgere la disequazione che diventa una disequazione di secondo grado il risultato di questa dovrebbe essere


$\delta = sqrt(\epsilon + 1)$


giusto???

[Steven11]

Nel tuo caso $f(x)=x^2+2x$ e $L=-1$ quindi hai
$|f(x)-L|=|x^2+2x+1|<\epsilon$
devi risolvere rispetto a $x$

[alfox1]

"Steven":Nel tuo caso $f(x)=x^2-2x$ e $L=-1$ quindi hai
$|f(x)-L|=|x^2-2x+1|<\epsilon$
devi risolvere rispetto a $x$

ho capito quindi devo inserire anche il -1.

ma per procedere risolvo la disequazione e ad $\epsilon$ che fine gli faccio fare???
scusami ma sono una capra...Help!

se non è chiedere troppo potresti farmi capire con i miei numeri.Scusami ancora per la scocciatura.

[Steven11]

$epsilon$ te la tieni.
I numeri sono quelli che ho scritto, che intendi per numeri?

Comunque occorre solo risolvere la disequazione
$|x^2+2x+1|=|(x+1)^2|=(x+1)^2$ infatti l'argomento del modulo è non negativo, puoi togliere il valore assoluto.
Quindi
$(x+1)^2-epsilon<0$ ovvero
$(x+1-sqrtepsilon)(x+1+sqrt(epsilon))<0$ che restituisce
$-1-sqrtepsilon quindi $x$ appartiene ad un intorno di -1.

Ti torna?

[alfox1]

"Steven":$epsilon$ te la tieni.
I numeri sono quelli che ho scritto, che intendi per numeri?

Comunque occorre solo risolvere la disequazione
$|x^2+2x+1|=|(x+1)^2|=(x+1)^2$ infatti l'argomento del modulo è non negativo, puoi togliere il valore assoluto.
Quindi
$(x+1)^2-epsilon<0$ ovvero
$(x+1-sqrtepsilon)(x+1+sqrt(epsilon))<0$ che restituisce
$-1-sqrtepsilon quindi $x$ appartiene ad un intorno di -1.

Ti torna?

ok adesso ho capito per numeri intendevo quelli del mio esempio esattamente come mi hai appena risposto insomma
grazie mille!!

[alvinlee881]

"alfox":
ok adesso ho capito per numeri intendevo quelli del mio esempio esattamente come mi hai appena risposto insomma
grazie mille!!

E quindi, per finire, il delta della definizione come lo scegli?

[Camillo]

Giusta domanda : la risposta ( corretta) completa veramente la soluzione dell'esercizio !

[alfox1]

"alvinlee88":
E quindi, per finire, il delta della definizione come lo scegli?

bhe dovrebbe essere $\delta= -1+sqrt(\epsilon)$

no???penso, spero

[alfox1]

ps: altrimenti non ho capito proprio niente!!!!!!!!!!!!!

[Camillo]

"alfox":[quote="alvinlee88"]
E quindi, per finire, il delta della definizione come lo scegli?

bhe dovrebbe essere $\delta= -1+sqrt(\epsilon)$

no???penso, spero[/quote]

Ahi,AHI......

Il $delta $ dà la misura dell'intorno del punto $-1$ ...

[alvinlee881]

"alfox":ps: altrimenti non ho capito proprio niente!!!!!!!!!!!!!

Il punto a cui tende $x$ non è $0$. La questione è semplice. Affinchè $|f(x)-L|$ sia minore di $epsilon$ deve essere $-1-sqrt(epsilon)

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[alfox1]

guarda a questo punto sto andando in confusione netta quindi non ti so dire...


posso provare a dirti $\delta = x + 1$
ma veramente stentato come raggionamento

[alfox1]

aspetta però forse ho avuto un illuminazione (sempre che quello che ti ho scritto prima sia una stupidata, come penso)

ritornando a quello che hai detto tu più l'intorno del post precedente

penso che sia $\delta = sqrt(\epsilon)$

giusto?????????

[alvinlee881]

Credo tu stia andando nel pallone senza motivo, non credo ingnori queste cose: sono proprio la base della teoria dei limiti.
Ricapitoliamo.
Affinchè la funzione abbia quel limite, cioè che 1) $|x^2+2x+1| deve essere $-1-sqrt(epsilon)1). Devi quindi scegliere un $delta$ adatto affinchè $-delta
In ultima analisi devi quindi scegliere un $delta$ adatto (in funzione di epsilon) affinchè $-delta Quindi che delta scegli?

[alfox1]

$- sqrt(\epsilon) < \delta < sqrt(\epsilon) $?????????????????
altrimenti davvero non lo so dimmelo te e poi cercherò di risolverne altri, anzi se hai qualcosa da propormi fallo pure.

[alvinlee881]

"alfox":$- sqrt(\epsilon) < \delta < sqrt(\epsilon) $?????????????????
altrimenti davvero non lo so dimmelo te e poi cercherò di risolverne altri, anzi se hai qualcosa da propormi fallo pure.

Scusa, non avevo visto la tua precedente risposta, altirmenti non avrei scritto quanto sopra.
Comunque si, è giusto, $delta=sqrt(epsilon)$. Visto che era facile?

[alfox1]

bello!!!!!!!!!!non credevo ok.....ho capito, allora cercherò di farne altri perchè devo allenarmi di più su queste cose.
grazie mille per avermi sopportato.

[alvinlee881]

NO NO fermi tutti, la risposta è $delta=sqrt(epsilon)$, NON $-sqrt(epsilon)

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[alfox1]

si si eri stato chiaro ho capito $\delta = sqrt(\epsilon)$

ok!!!